Referring to BÉRARDIn P. BÉRARD's and MEYERD. MEYER's paper "Inégalités isopérimétriques et applications""Inégalités isopérimétriques et applications" ("Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure", Serie 4, Volume 15 (1982) no. 3, pp. 513-541), the proof is given above for the case where the nodal domain is a non-normal domain.