From Milne's article: The Riemann hypothesis... "According to Weil's recollections (OEuvres, II, p.529),* Hasse defined the Hasse-Weil zeta function for an elliptic curve over $\mathbb{Q}$, and set the Hasse-Weil conjecture in this case as a thesis problem! Initially, Weil was sceptical of the conjecture, but he proved it for curves of the form $Y^{m}=aX^{n}+b$ over number fields by expressing their zeta functions in terms of Hecke $L$-functions.** In particular, Weil showed that the zeta functions of the elliptic curves $Y^{2}=aX^{3}+b$ and $Y^{2}=aX^{4}+b$ can be expressed in terms of Hecke $L$-functions, and he suggested that the same should be true for all elliptic curves with complex multiplication. This was proved by Deuring in a "beautiful series" of papers... "

*Peu avant la guerre, si mes souvenirs sont exacts, G. de Rham me raconta qu'un de ses 'etudiants de Gen`eve, Pierre Humbert, 'etait all'e `a G"ottingen avec l'intention d'y travailler sous la direction de Hasse, et que celui-ci lui avait propos'e un probl'eme sur lequel de Rham d'esirait mon avis. Une courbe elliptique $C$ 'etant donn'ee sur le corps des rationnels, il s'agissait principalement, il me semble, d''etudier le produit infini des fonctions z^eta des courbes $C_{p}$ obtenues en r'eduisant $C$ modulo $p$ pour tout nombre premier $p$ pour lequel $C_{p}$ est de genre $1$; plus pr'ecis'ement, il fallait rechercher si ce produit poss`ede un prolongement analytique et une equation fonctionnelle. J'ignore si Pierre Humbert, ou bien Hasse, avaient examin'e aucun cas particulier. En tout cas, d'apr`es de Rham, Pierre Humbert se sentait d'ecourag'e et craignait de perdre son temps et sa peine.

**Weil also saw that the analogous conjecture over global function fields can sometimes be deduced from the Weil conjectures.

From Milne's article: The Riemann hypothesis... "According to Weil's recollections (OEuvres, II, p.529),* Hasse defined the Hasse-Weil zeta function for an elliptic curve over $\mathbb{Q}$, and set the Hasse-Weil conjecture in this case as a thesis problem! Initially, Weil was sceptical of the conjecture, but he proved it for curves of the form $Y^{m}=aX^{n}+b$ over number fields by expressing their zeta functions in terms of Hecke $L$-functions.** In particular, Weil showed that the zeta functions of the elliptic curves $Y^{2}=aX^{3}+b$ and $Y^{2}=aX^{4}+b$ can be expressed in terms of Hecke $L$-functions, and he suggested that the same should be true for all elliptic curves with complex multiplication. This was proved by Deuring in a "beautiful series" of papers... "

*"Peu avant la guerre, si mes souvenirs sont exacts, G. de Rham me raconta qu'un de ses étudiants de Genève, Pierre Humbert, était allé à Göttingen avec l'intention d'y travailler sous la direction de Hasse, et que celui-ci lui avait proposé un problème sur lequel de Rham désirait mon avis. Une courbe elliptique $C$ étant donnée sur le corps des rationnels, il s'agissait principalement, il me semble, d'étudier le produit infini des fonctions zêta des courbes $C_{p}$ obtenues en réduisant $C$ modulo $p$ pour tout nombre premier $p$ pour lequel $C_{p}$ est de genre $1$; plus précisément, il fallait rechercher si ce produit possède un prolongement analytique et une equation fonctionnelle. J'ignore si Pierre Humbert, ou bien Hasse, avaient examiné aucun cas particulier. En tout cas, d'après de Rham, Pierre Humbert se sentait découragé et craignait de perdre son temps et sa peine."

**Weil also saw that the analogous conjecture over global function fields can sometimes be deduced from the Weil conjectures.

From Milne's article: The Riemann hypothesis... "According to Weil's recollections (OEuvres, II, p.529),* Hasse defined the Hasse-Weil zeta function for an elliptic curve $\mathbb{Q}$, and set the Hasse-Weil conjecture in this case as a thesis problem! Initially, Weil was sceptical of the conjecture, but he proved it for curves of the form $Y^{m}=aX^{n}+b$ over number fields by expressing their zeta functions in terms of Hecke $L$-functions.** In particular, Weil showed that the zeta functions of the elliptic curves $Y^{2}=aX^{3}+b$ and $Y^{2}=aX^{4}+b$ can be expressed in terms of Hecke $L$-functions, and he suggested that the same should be true for all elliptic curves with complex multiplication. This was proved by Deuring in a "beautiful series" of papers... "

*Peu avant la guerre, si mes souvenirs sont exacts, G. de Rham me raconta qu'un de ses 'etudiants de Gen`eve, Pierre Humbert, 'etait all'e `a G"ottingen avec l'intention d'y travailler sous la direction de Hasse, et que celui-ci lui avait propos'e un probl'eme sur lequel de Rham d'esirait mon avis. Une courbe elliptique $C$ 'etant donn'ee sur le corps des rationnels, il s'agissait principalement, il me semble, d''{e}tudier le produit infini des fonctions z^eta des courbes $C_{p}$ obtenues en r'{e}duisant $C$ modulo $p$ pour tout nombre premier $p$ pour lequel $C_{p}$ est de genre $1$; plus pr'ecis'{e}ment, il fallait rechercher si ce produit poss`ede un prolongement analytique et une e}quation fonctionnelle. J'ignore si Pierre Humbert, ou bien Hasse, avaient examin'{e} aucun cas particulier. En tout cas, d'apr`es de Rham, Pierre Humbert se sentait d'{e}courag'e et craignait de perdre son temps et sa peine.

**Weil also saw that the analogous conjecture over global function fields can sometimes be deduced from the Weil conjectures.

From Milne's article: The Riemann hypothesis... "According to Weil's recollections (OEuvres, II, p.529),* Hasse defined the Hasse-Weil zeta function for an elliptic curve over $\mathbb{Q}$, and set the Hasse-Weil conjecture in this case as a thesis problem! Initially, Weil was sceptical of the conjecture, but he proved it for curves of the form $Y^{m}=aX^{n}+b$ over number fields by expressing their zeta functions in terms of Hecke $L$-functions.** In particular, Weil showed that the zeta functions of the elliptic curves $Y^{2}=aX^{3}+b$ and $Y^{2}=aX^{4}+b$ can be expressed in terms of Hecke $L$-functions, and he suggested that the same should be true for all elliptic curves with complex multiplication. This was proved by Deuring in a "beautiful series" of papers... "

*Peu avant la guerre, si mes souvenirs sont exacts, G. de Rham me raconta qu'un de ses 'etudiants de Gen`eve, Pierre Humbert, 'etait all'e `a G"ottingen avec l'intention d'y travailler sous la direction de Hasse, et que celui-ci lui avait propos'e un probl'eme sur lequel de Rham d'esirait mon avis. Une courbe elliptique $C$ 'etant donn'ee sur le corps des rationnels, il s'agissait principalement, il me semble, d''etudier le produit infini des fonctions z^eta des courbes $C_{p}$ obtenues en r'eduisant $C$ modulo $p$ pour tout nombre premier $p$ pour lequel $C_{p}$ est de genre $1$; plus pr'ecis'ement, il fallait rechercher si ce produit poss`ede un prolongement analytique et une equation fonctionnelle. J'ignore si Pierre Humbert, ou bien Hasse, avaient examin'e aucun cas particulier. En tout cas, d'apr`es de Rham, Pierre Humbert se sentait d'ecourag'e et craignait de perdre son temps et sa peine.

**Weil also saw that the analogous conjecture over global function fields can sometimes be deduced from the Weil conjectures.