From Milne's article: The Riemann hypothesis... "According to Weil's recollections (OEuvres, II, p.529),* Hasse defined the Hasse-Weil zeta function for an elliptic curve $\mathbb{Q}$, and set the Hasse-Weil conjecture in this case as a thesis problem! Initially, Weil was sceptical of the conjecture, but he proved it for curves of the form $Y^{m}=aX^{n}+b$ over number fields by expressing their zeta functions in terms of Hecke $L$-functions.** In particular, Weil showed that the zeta functions of the elliptic curves $Y^{2}=aX^{3}+b$ and $Y^{2}=aX^{4}+b$ can be expressed in terms of Hecke $L$-functions, and he suggested that the same should be true for all elliptic curves with complex multiplication. This was proved by Deuring in a "beautiful series" of papers... "
*Peu avant la guerre, si mes souvenirs sont exacts, G. de Rham me raconta qu'un de ses 'etudiants de Gen`eve, Pierre Humbert, 'etait all'e `a G"ottingen avec l'intention d'y travailler sous la direction de Hasse, et que celui-ci lui avait propos'e un probl'eme sur lequel de Rham d'esirait mon avis. Une courbe elliptique $C$ 'etant donn'ee sur le corps des rationnels, il s'agissait principalement, il me semble, d''{e}tudier le produit infini des fonctions z^eta des courbes $C_{p}$ obtenues en r'{e}duisant $C$ modulo $p$ pour tout nombre premier $p$ pour lequel $C_{p}$ est de genre $1$; plus pr'ecis'{e}ment, il fallait rechercher si ce produit poss`ede un prolongement analytique et une e}quation fonctionnelle. J'ignore si Pierre Humbert, ou bien Hasse, avaient examin'{e} aucun cas particulier. En tout cas, d'apr`es de Rham, Pierre Humbert se sentait d'{e}courag'e et craignait de perdre son temps et sa peine.
**Weil also saw that the analogous conjecture over global function fields can sometimes be deduced from the Weil conjectures.