From Milne's article: The Riemann hypothesis... "According to Weil's recollections (OEuvres, II, p.529),* Hasse defined the Hasse-Weil zeta function for an elliptic curve $\mathbb{Q}$, and set the Hasse-Weil conjecture in this case as a thesis
problem! Initially, Weil was sceptical of the conjecture, but he proved it for
curves of the form $Y^{m}=aX^{n}+b$ over number fields by expressing their
zeta functions in terms of Hecke $L$-functions.** In particular, Weil showed that the zeta functions of the elliptic curves $Y^{2}=aX^{3}+b$ and $Y^{2}=aX^{4}+b$ can be expressed in terms of Hecke $L$-functions, and he suggested that the same should be true for all elliptic curves with complex multiplication. This was proved by
Deuring in a "beautiful series" of papers... "

*Peu avant la guerre, si mes souvenirs sont exacts, G. de Rham me raconta qu'un de ses \'etudiants de Gen\`eve, Pierre Humbert, \'etait all\'e \`a G\"ottingen avec l'intention d'y travailler sous la direction de Hasse, et
que celui-ci lui avait propos\'e un probl\'eme sur lequel de Rham
d\'esirait mon avis. Une courbe elliptique $C$ \'etant donn\'ee sur le
corps des rationnels, il s'agissait principalement, il me semble,
d'\'{e}tudier le produit infini des fonctions z\^eta des courbes $C_{p}$
obtenues en r\'{e}duisant $C$ modulo $p$ pour tout nombre premier $p$ pour
lequel $C_{p}$ est de genre $1$; plus pr\'ecis\'{e}ment, il fallait
rechercher si ce produit poss\`ede un prolongement analytique et une
e}quation fonctionnelle. J'ignore si Pierre Humbert, ou bien Hasse, avaient
examin\'{e} aucun cas particulier. En tout cas, d'apr\`es de Rham, Pierre
Humbert se sentait d\'{e}courag\'e et craignait de perdre son temps et sa
peine.

**Weil also saw that the analogous conjecture over global function fields can sometimes be deduced from the Weil conjectures.