Spent a month checking, this is what I suspect is the complete list of 'sporadic' or 'exceptional' pairs. No restriction that they be in the same genus or have the same discriminant. I was able to check discriminant ratio $4$ and discriminant ratio $1$ very high. The other ones just seem sort of random little sets, two quadruples (see the repeated forms). Also some patterns that dry up, discriminants $111,333,999$ but not $2997,$ also on the left $24, 72, 216, 648, 1944,$ but not $5832.$ This last begins with three pair of regular forms, I typed those in. The list of pairs of regular forms that agree is enormous.
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54 : 2 2 4 1 2 0 216 : 2 4 8 4 1 1
75 : 1 4 5 1 1 0 111 : 1 4 7 1 0 0
78 : 3 3 3 1 1 3 142 : 3 3 5 2 3 1
78 : 3 3 3 1 1 3 158 : 3 3 5 -1 2 1
78 : 3 3 3 1 1 3 190 : 3 5 5 5 2 3
142 : 3 3 5 2 3 1 158 : 3 3 5 -1 2 1
142 : 3 3 5 2 3 1 190 : 3 5 5 5 2 3
156 : 3 3 5 2 2 0 284 : 3 5 6 4 2 2
156 : 3 3 5 2 2 0 316 : 3 5 6 0 2 2
156 : 3 3 5 2 2 0 380 : 3 5 7 2 0 2
158 : 3 3 5 -1 2 1 190 : 3 5 5 5 2 3
162 : 2 2 14 1 2 2 648 : 2 6 14 3 1 0
177 : 2 4 7 4 2 1 213 : 2 4 7 0 1 1
225 : 3 4 7 4 3 3 333 : 3 4 7 1 0 0
232 : 3 3 7 1 2 1 232 : 3 5 5 3 1 3
284 : 3 5 6 4 2 2 316 : 3 5 6 0 2 2
284 : 3 5 6 4 2 2 380 : 3 5 7 2 0 2
316 : 3 5 6 0 2 2 380 : 3 5 7 2 0 2
324 : 4 4 6 0 3 2 567 : 4 6 7 3 2 3
486 : 2 2 41 1 2 2 1944 : 2 6 41 3 1 0
531 : 5 5 6 0 3 2 639 : 5 5 8 -1 2 4
648 : 4 7 7 5 2 2 2592 : 4 7 25 -4 2 2
648 : 5 5 8 0 4 3 648 : 5 7 7 6 1 5
675 : 5 5 8 -1 4 2 999 : 5 8 8 -5 1 4
These are pairs of positive quadratic forms that represent the
same numbers, and violate a Kaplansky conjecture.
Delta : A B C R S T means
f(x,y,z) = A x^2 + B y^2 + C z^2 + R y z + S z x + T x y,
and Delta = 4ABC + RST - A R^2 - B S^2 - C T^2.
The two pair within a genus each are
232 : 3 5 5 3 1 3 232 : 3 3 7 1 2 1
648 : 5 7 7 6 1 5 648 : 5 5 8 0 4 3
The most productive discriminant ratio is 4,
which includes Kap's two infinite families, also
24 : 1 2 4 2 1 1 6 : 1 1 2 1 1 0
72 : 2 2 5 1 1 1 18 : 2 2 2 1 2 2
216 : 2 5 6 3 0 1 54 : 2 2 5 1 2 2
648 : 2 6 14 3 1 0 162 : 2 2 14 1 2 2
1944 : 2 6 41 3 1 0 486 : 2 2 41 1 2 2
or
48N-24: 2 6 N 3 1 0 12N-6: 2 2 N 1 2 2
where N = (1+ 3^k)/2, and the pairs for N = 1,2,5 are regular
and have been Schiemann reduced.
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Reminder: Kap's two infinite families are equivalent to those
below, which need not be "reduced." For the first, require
gcd(A,C) = 1 and 0 <A,C. For the second, gcd(A,R) = 1, with
A > 0 and -A < R < 2 A.
4D : A 3A C 0 0 0 D : A A C 0 0 A
4D: A 2A-R 2A+R 0 2R 0 D : A A A R R R
For the first, D = 3 A^2 C, for the second D = (A+R)(2A-R)^2 .
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Why not. The complete list of regular pairs, evidently 182 pairs among which various triples, quadruples and so on may be found. Smaller discriminant put first on the line.
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
2 : 1 1 1 1 1 1 18 : 1 2 3 2 1 0
2 : 1 1 1 1 1 1 32 : 1 2 4 0 0 0
2 : 1 1 1 1 1 1 8 : 1 1 2 0 0 0
3 : 1 1 1 0 0 1 12 : 1 1 3 0 0 0
3 : 1 1 1 0 0 1 12 : 1 2 2 1 1 1
3 : 1 1 1 0 0 1 21 : 1 2 3 0 0 1
4 : 1 1 1 0 0 0 16 : 1 2 2 0 0 0
4 : 1 1 1 0 0 0 36 : 1 2 5 2 0 0
5 : 1 1 2 1 1 1 20 : 1 2 3 1 0 1
5 : 1 1 2 1 1 1 20 : 1 2 3 2 0 0
6 : 1 1 2 0 0 1 22 : 1 2 3 0 1 0
6 : 1 1 2 0 0 1 24 : 1 2 3 0 0 0
6 : 1 1 2 1 1 0 15 : 1 1 4 0 1 0
6 : 1 1 2 1 1 0 24 : 1 1 6 0 0 0
6 : 1 1 2 1 1 0 24 : 1 2 4 2 1 1
6 : 1 1 2 1 1 0 33 : 1 2 5 1 1 1
8 : 1 1 2 0 0 0 18 : 1 2 3 2 1 0
8 : 1 1 2 0 0 0 32 : 1 2 4 0 0 0
8 : 1 1 3 1 1 1 32 : 1 3 3 2 0 0
8 : 1 1 3 1 1 1 72 : 1 3 7 2 1 1
9 : 1 1 3 0 0 1 36 : 1 3 3 0 0 0
9 : 1 1 3 0 0 1 36 : 1 3 4 3 1 0
9 : 1 1 3 0 0 1 63 : 1 3 6 3 0 0
10 : 1 2 2 2 1 1 15 : 1 2 2 1 0 0
10 : 1 2 2 2 1 1 40 : 1 2 5 0 0 0
12 : 1 1 3 0 0 0 12 : 1 2 2 1 1 1
12 : 1 1 3 0 0 0 21 : 1 2 3 0 0 1
12 : 1 1 4 0 0 1 48 : 1 3 4 0 0 0
12 : 1 2 2 1 1 1 21 : 1 2 3 0 0 1
12 : 1 2 2 2 0 0 44 : 1 2 6 2 0 0
12 : 1 2 2 2 0 0 48 : 1 2 6 0 0 0
14 : 1 1 5 1 1 1 30 : 1 3 3 1 1 1
14 : 1 1 5 1 1 1 46 : 1 3 5 3 1 1
14 : 1 1 5 1 1 1 56 : 1 3 5 2 0 0
15 : 1 1 4 0 1 0 24 : 1 1 6 0 0 0
15 : 1 1 4 0 1 0 24 : 1 2 4 2 1 1
15 : 1 1 4 0 1 0 33 : 1 2 5 1 1 1
15 : 1 2 2 1 0 0 40 : 1 2 5 0 0 0
16 : 1 2 2 0 0 0 36 : 1 2 5 2 0 0
18 : 1 1 6 0 0 1 72 : 1 3 6 0 0 0
18 : 1 2 3 2 1 0 32 : 1 2 4 0 0 0
18 : 2 2 2 1 2 2 45 : 2 2 3 0 0 1
18 : 2 2 2 1 2 2 72 : 2 2 5 1 1 1
18 : 2 2 2 1 2 2 72 : 2 3 3 0 0 0
18 : 2 2 2 1 2 2 99 : 2 3 5 3 1 0
20 : 1 1 7 1 1 1 80 : 1 3 7 2 0 0
20 : 1 2 3 1 0 1 20 : 1 2 3 2 0 0
22 : 1 2 3 0 1 0 24 : 1 2 3 0 0 0
24 : 1 1 6 0 0 0 24 : 1 2 4 2 1 1
24 : 1 1 6 0 0 0 33 : 1 2 5 1 1 1
24 : 1 2 4 2 1 1 33 : 1 2 5 1 1 1
25 : 2 2 2 -1 1 1 100 : 2 2 7 -1 1 1
25 : 2 2 2 -1 1 1 100 : 2 3 5 0 0 2
27 : 1 1 7 0 1 0 27 : 1 2 4 1 0 1
27 : 1 1 9 0 0 1 108 : 1 3 10 3 1 0
27 : 1 1 9 0 0 1 108 : 1 3 9 0 0 0
27 : 1 1 9 0 0 1 27 : 1 3 3 3 0 0
27 : 1 3 3 3 0 0 108 : 1 3 10 3 1 0
27 : 1 3 3 3 0 0 108 : 1 3 9 0 0 0
27 : 2 2 2 1 1 1 108 : 2 2 8 2 2 1
27 : 2 2 2 1 1 1 108 : 2 3 5 0 2 0
27 : 2 2 2 1 1 1 189 : 2 3 8 0 1 0
28 : 2 2 3 2 2 2 112 : 2 3 5 2 0 0
28 : 2 2 3 2 2 2 60 : 2 3 3 0 0 2
28 : 2 2 3 2 2 2 92 : 2 3 5 2 0 2
30 : 1 1 10 0 0 1 120 : 1 3 10 0 0 0
30 : 1 3 3 1 1 1 46 : 1 3 5 3 1 1
30 : 1 3 3 1 1 1 56 : 1 3 5 2 0 0
32 : 1 3 3 2 0 0 72 : 1 3 7 2 1 1
36 : 1 1 12 0 0 1 144 : 1 3 12 0 0 0
36 : 1 3 3 0 0 0 36 : 1 3 4 3 1 0
36 : 1 3 3 0 0 0 63 : 1 3 6 3 0 0
36 : 1 3 4 3 1 0 63 : 1 3 6 3 0 0
36 : 2 2 3 0 0 2 144 : 2 3 6 0 0 0
44 : 1 2 6 2 0 0 48 : 1 2 6 0 0 0
45 : 2 2 3 0 0 1 72 : 2 2 5 1 1 1
45 : 2 2 3 0 0 1 72 : 2 3 3 0 0 0
45 : 2 2 3 0 0 1 99 : 2 3 5 3 1 0
46 : 1 3 5 3 1 1 56 : 1 3 5 2 0 0
48 : 1 4 4 4 0 0 192 : 1 4 12 0 0 0
50 : 1 4 4 3 1 1 200 : 1 5 10 0 0 0
50 : 1 4 4 3 1 1 75 : 1 4 5 0 0 1
54 : 1 1 18 0 0 1 216 : 1 3 18 0 0 0
54 : 1 4 4 2 1 1 216 : 1 6 9 0 0 0
54 : 1 4 4 2 1 1 297 : 1 6 13 3 1 0
54 : 2 2 5 1 2 2 135 : 2 5 5 5 1 2
54 : 2 2 5 1 2 2 216 : 2 5 6 0 0 2
54 : 2 2 5 1 2 2 216 : 2 5 6 3 0 1
54 : 2 2 5 1 2 2 297 : 2 5 8 -2 1 1
54 : 2 3 3 3 0 0 216 : 2 3 9 0 0 0
60 : 1 4 5 4 1 0 132 : 1 5 7 1 0 1
60 : 1 4 5 4 1 0 96 : 1 4 7 4 0 0
60 : 2 2 5 0 0 2 240 : 2 5 6 0 0 0
60 : 2 3 3 0 0 2 112 : 2 3 5 2 0 0
60 : 2 3 3 0 0 2 92 : 2 3 5 2 0 2
64 : 3 3 3 -2 2 2 256 : 3 3 8 0 0 2
64 : 3 3 3 -2 2 2 576 : 3 3 19 -2 2 2
72 : 2 2 5 1 1 1 72 : 2 3 3 0 0 0
72 : 2 2 5 1 1 1 99 : 2 3 5 3 1 0
72 : 2 3 3 0 0 0 99 : 2 3 5 3 1 0
75 : 1 4 5 0 0 1 200 : 1 5 10 0 0 0
80 : 3 3 3 2 2 2 320 : 3 4 7 0 2 0
90 : 1 1 30 0 0 1 360 : 1 3 30 0 0 0
92 : 2 3 5 2 0 2 112 : 2 3 5 2 0 0
96 : 1 4 7 4 0 0 132 : 1 5 7 1 0 1
98 : 3 3 3 -1 1 1 392 : 3 5 7 0 0 2
100 : 2 2 7 -1 1 1 100 : 2 3 5 0 0 2
100 : 3 3 3 1 1 1 400 : 3 5 7 0 2 0
108 : 1 1 36 0 0 1 432 : 1 3 36 0 0 0
108 : 1 3 9 0 0 0 108 : 1 3 10 3 1 0
108 : 1 4 7 0 1 0 108 : 1 5 7 5 1 1
108 : 1 6 6 6 0 0 432 : 1 6 18 0 0 0
108 : 2 2 8 2 2 1 108 : 2 3 5 0 2 0
108 : 2 2 8 2 2 1 189 : 2 3 8 0 1 0
108 : 2 2 9 0 0 2 432 : 2 6 9 0 0 0
108 : 2 3 5 0 2 0 189 : 2 3 8 0 1 0
108 : 3 3 5 3 3 3 432 : 3 5 8 4 0 0
135 : 2 5 5 5 1 2 216 : 2 5 6 0 0 2
135 : 2 5 5 5 1 2 216 : 2 5 6 3 0 1
135 : 2 5 5 5 1 2 297 : 2 5 8 -2 1 1
144 : 3 4 4 4 0 0 576 : 3 4 12 0 0 0
150 : 2 5 5 5 0 0 600 : 2 5 15 0 0 0
180 : 2 2 15 0 0 2 720 : 2 6 15 0 0 0
180 : 3 5 5 5 3 3 288 : 3 5 5 2 0 0
180 : 3 5 5 5 3 3 396 : 3 5 8 2 0 3
192 : 1 8 8 8 0 0 704 : 1 8 24 8 0 0
192 : 1 8 8 8 0 0 768 : 1 8 24 0 0 0
196 : 3 5 5 -4 2 2 784 : 3 5 14 0 0 2
216 : 1 6 9 0 0 0 297 : 1 6 13 3 1 0
216 : 2 5 6 0 0 2 216 : 2 5 6 3 0 1
216 : 2 5 6 0 0 2 297 : 2 5 8 -2 1 1
216 : 2 5 6 3 0 1 297 : 2 5 8 -2 1 1
240 : 1 4 16 4 0 0 384 : 1 4 24 0 0 0
256 : 3 3 8 0 0 2 576 : 3 3 19 -2 2 2
270 : 3 3 11 3 3 3 1080 : 3 9 11 6 0 0
288 : 3 5 5 2 0 0 396 : 3 5 8 2 0 3
300 : 1 10 10 10 0 0 1200 : 1 10 30 0 0 0
384 : 4 4 7 0 4 0 528 : 4 7 7 6 0 4
400 : 3 7 7 -6 2 2 1600 : 3 7 20 0 0 2
432 : 1 12 12 12 0 0 1728 : 1 12 36 0 0 0
432 : 5 5 5 -2 2 2 1728 : 5 8 12 0 0 4
448 : 5 5 5 2 2 2 1472 : 5 8 12 8 4 0
448 : 5 5 5 2 2 2 1792 : 5 8 12 0 4 0
448 : 5 5 5 2 2 2 960 : 5 5 12 -4 4 2
450 : 5 5 6 0 0 5 1800 : 5 6 15 0 0 0
540 : 5 5 8 2 4 5 1188 : 5 8 9 6 3 2
540 : 5 5 8 2 4 5 864 : 5 8 8 8 2 4
540 : 6 6 7 6 6 6 2160 : 6 7 13 2 0 0
576 : 3 8 8 8 0 0 2304 : 3 8 24 0 0 0
704 : 1 8 24 8 0 0 768 : 1 8 24 0 0 0
720 : 3 8 8 4 0 0 1152 : 3 8 12 0 0 0
768 : 1 16 16 16 0 0 3072 : 1 16 48 0 0 0
864 : 5 8 8 8 2 4 1188 : 5 8 9 6 3 2
900 : 3 10 10 10 0 0 3600 : 3 10 30 0 0 0
960 : 5 5 12 -4 4 2 1472 : 5 8 12 8 4 0
960 : 5 5 12 -4 4 2 1792 : 5 8 12 0 4 0
960 : 5 8 8 8 0 0 3840 : 5 8 24 0 0 0
1024 : 3 11 11 -10 2 2 4096 : 3 11 32 0 0 2
1152 : 5 5 12 0 0 2 1584 : 5 5 17 -2 2 2
1280 : 7 7 7 -2 2 2 5120 : 7 12 16 0 0 4
1350 : 7 7 7 -1 1 1 5400 : 7 13 15 0 0 2
1472 : 5 8 12 8 4 0 1792 : 5 8 12 0 4 0
1728 : 1 24 24 24 0 0 6912 : 1 24 72 0 0 0
1728 : 8 8 9 0 0 8 6912 : 8 9 24 0 0 0
2160 : 5 8 17 8 2 4 3456 : 5 8 24 0 0 4
2304 : 3 16 16 16 0 0 9216 : 3 16 48 0 0 0
2700 : 9 11 11 -8 6 6 10800 : 9 11 30 0 0 6
2880 : 8 8 15 0 0 8 11520 : 8 15 24 0 0 0
3136 : 3 19 19 -18 2 2 12544 : 3 19 56 0 0 2
3456 : 8 11 11 -2 4 4 4752 : 8 11 15 6 0 4
4800 : 1 40 40 40 0 0 19200 : 1 40 120 0 0 0
6144 : 11 11 16 8 8 6 8448 : 11 11 19 2 2 6
6144 : 7 15 16 0 0 6 8448 : 7 15 23 -6 2 6
6400 : 3 27 27 -26 2 2 25600 : 3 27 80 0 0 2
6912 : 1 48 48 48 0 0 27648 : 1 48 144 0 0 0
6912 : 9 17 17 -14 6 6 27648 : 9 17 48 0 0 6
8640 : 13 13 13 2 2 2 34560 : 13 24 28 0 4 0
14400 : 3 40 40 40 0 0 57600 : 3 40 120 0 0 0
18432 : 17 17 20 -4 4 14 25344 : 17 20 20 -8 4 4
18432 : 5 20 48 0 0 4 25344 : 5 20 68 -8 4 4
43200 : 9 41 41 -38 6 6 172800 : 9 41 120 0 0 6
55296 : 11 32 44 -16 4 8 76032 : 11 32 59 8 10 8
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