# Scheme of relative connected components

Let $$f\colon Y\to X$$ be a morphism of schemes. Assume $$f$$ is finitely presented, flat, with geometrically reduced fibers. Then Romagny has proved that the "functor of relative geometric connected components", that sends any $$X$$-scheme $$T$$ to the set of open subschemes $$U\hookrightarrow Y\times_X T$$ such that $$U_t$$ is a connected component of $$Y_t$$ for every geometric point $$t$$ of $$T$$, is representable by an algebraic space Z, étale and finitely presented over $$X$$.

Assume now that every connected component of a fiber of $$f$$ is geometrically connected. Is it true that $$Z$$ is a scheme ? The étale map $$Z\to X$$ will then have split fibers (i.e., $$Z_x$$ is the direct sum of finitely many copies of $$\mathrm{Spec}\; \kappa(x)$$ for all $$x\in X$$), and I have the impression that the should imply that $$Z$$ is a scheme, but my intuition can be wrong.

On part d'un revêtement étale double p:Z-->X de surfaces (disons) sur un corps algébriquement clos (re-disons). On fixe un point fermé x de X, d'image réciproque {z',z"}. On prend une courbe fermée lisse irréductible C dans Z, passant par z' et z" mais telle que C-{z',z"}-->X soit une immersion. On note u l'involution de Z associée à p. Soit $$D:=C\cup u(C)=p^{-1}(p(C))$$. Alors p induit un revêtement double q:D-->p(C) qui n'a pas de section au voisinage de x, pour la raison donnée plus haut, mais dont toute fibre est formée de points rationnels. Soit Y l'espace algébrique obtenu en «quotientant X par u, sauf le long de D». De façon précise, notant V=Z-D, Y est le quotient de Z par la relation d'équivalence R ouverte dans $$Z\times_X Z$$, réunion de la diagonale et de $$V\times_X V$$. Alors p induit un morphisme étale f:Y-->X, qui est un isomorphisme hors de p(C) et induit le revêtement q au-dessus de p(C). En particulier ta condition sur les fibres est satisfaite. Je dis que Y n'est pas un schéma: si W est un voisinage ouvert affine de z' (vu comme point de Y) alors W ne peut pas contenir deux points de la même fibre de f (car il est séparé). La projection W-->X est alors un monomorphisme étale, donc une immersion ouverte, donc p a une section au voisinage de x, contradiction.