Let $$\phi(x_1,\cdots,x_n)=\frac{x_1^n+\cdots+x_n^n}{n}-x_1x_2\cdots x_n$$ In his proof of AG inequality, Hurwitz (1891) proves that $$\phi(x_1,\cdots,x_n)=\frac{1}{2\times n!}\left(\phi_1+\phi_2+\cdots+\phi_n\right)$$ where \begin{align*} \phi_1=& \sum(x_1^{n-2}+x_1^{n-3}x_2+\cdots+x_1x_2^{n-3}+x_2^{n-2})(x_1-x_2)^2,\\ \phi_2=&\sum(x_1^{n-3}+x_1^{n-4}x_2+\cdots+x_1x_2^{n-4}+x_2^{n-3})(x_1-x_2)^2x_3,\\ \dots\\ \phi_n=&\sum(x_1-x_2)^2x_3x_4\cdots x_n. \end{align*}
Hurwitz, A. (1891). Ueber den Vergleich des arithmetischen und des geometrischen MittelsUeber den Vergleich des arithmetischen und des geometrischen Mittels. Journal für die reine und angewandte Mathematik, 108, 266-268.
