Let $$\phi(x_1,\cdots,x_n)=\frac{x_1^n+\cdots+x_n^n}{n}-x_1x_2\cdots x_n$$
In his proof of AG inequality, Hurwitz (1891) proves that
$$\phi(x_1,\cdots,x_n)=\frac{1}{2\times n!}\left(\phi_1+\phi_2+\cdots+\phi_n\right)$$
where
\begin{align*}
  \phi_1=& \sum(x_1^{n-2}+x_1^{n-3}x_2+\cdots+x_1x_2^{n-3}+x_2^{n-2})(x_1-x_2)^2,\\
\phi_2=&\sum(x_1^{n-3}+x_1^{n-4}x_2+\cdots+x_1x_2^{n-4}+x_2^{n-3})(x_1-x_2)^2x_3,\\
\dots\\
\phi_n=&\sum(x_1-x_2)^2x_3x_4\cdots x_n.
\end{align*}

Hurwitz, A. (1891). Ueber den Vergleich des arithmetischen und des geometrischen Mittels. Journal für die reine und angewandte Mathematik, 108, 266-268.