The Encyklopädie article of Heinrich Burkhardt, Endliche discrete Gruppen (1899), p. 218 ascribes the origin thus:

15. Allgemeiner Gruppenbegriff. (...) die Gruppe enthält ein Element $e$, die Einheit$^{73)}$, das mit jedem andern $a$ $ae = a$ und $ea = a$ ergiebt; (...)

---

73. (...) G. Frobenius u. E. Stickelberger, J. f. Math. 86, 1879 [78], p.219.

The paper in question, Ueber Gruppen von vertauschbaren Elementen, reads:

§.1. Definitionen.

Die Elemente unserer Untersuchung sind die $\varphi(\mathbf M)$ Klassen von (reellen) ganzen Zahlen, welche in Bezug auf einen Modul $\mathbf M$ incongruent und relativ prim zu demselben sind. (...) Das Element $\mathbf E$ (so bezeichnen wir im folgenden die Zahlenklasse, deren Repräsentant 1 ist) heisst das Hauptelement.

The Encyklopädie article of Heinrich Burkhardt, Endliche discrete Gruppen (1899), p. 218 ascribes the origin thus:

15. Allgemeiner Gruppenbegriff. (...) die Gruppe enthält ein Element $e$, die Einheit  $^{73)}$, das mit jedem andern $a$ $ae = a$ und $ea = a$ ergiebt; (...)

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73. (...) G. Frobenius u. E. Stickelberger, J. f. Math. 86, 1879[78], p. 219.

The paper in question, Ueber Gruppen von vertauschbaren Elementen (1879), reads:

§.1. Definitionen.

Die Elemente unserer Untersuchung sind die $\varphi(\mathbf M)$ Klassen von (reellen) ganzen Zahlen, welche in Bezug auf einen Modul $\mathbf M$ incongruent und relativ prim zu demselben sind. (...) Das Element $\mathbf E$ (so bezeichnen wir im folgenden die Zahlenklasse, deren Repräsentant 1 ist) heisst das Hauptelement.