The *Encyklopädie* article of Heinrich Burkhardt, [*Endliche discrete Gruppen* (1899), p. 218](https://archive.org/stream/encyklomath101encyrich#page/n263) ascribes the origin thus:

>**15. Allgemeiner Gruppenbegriff.** (...) die Gruppe enthält ein
Element $e$, die *Einheit* $^{73)}$, das mit jedem andern $a$ $ae = a$ und $ea = a$
ergiebt; (...)

>----
>73) (...) *G. Frobenius* u. *E. Stickelberger*, J. f. Math. 86, 1879[78], p. 219.

The paper in question, [*Ueber Gruppen von vertauschbaren Elementen*](http://www.digizeitschriften.de/dms/img/?PPN=PPN243919689_0086&PHYSID=phys224) (1879), reads:

> **§.1. Definitionen.**

> Die Elemente unserer Untersuchung sind die $\varphi(\mathbf M)$ Klassen von (reellen) ganzen Zahlen, welche in Bezug auf einen Modul $\mathbf M$ incongruent und relativ prim zu demselben sind. (...) Das Element $\mathbf E$  (so bezeichnen wir im folgenden die Zahlenklasse, deren Repräsentant 1 ist) heisst das *Hauptelement*.