According to these [pages][1], the earliest known appearance of the term pole was in  [*"Théorie des fonctions elliptiques"*][2] (1875, p. 15) by Briot and Bouquet: 

>Lorsqu'une fonction $u$ est holomorphe dans une certaine partie du plan, excepté en un point $z_1$, où elle devient infinie, de manière toutefois que la fonction $\frac{1}{u}$ reste holomorphe dans le voisinage de ce point, on dit que ce point est un *pôle* ou un *infini* de la fonction $u$.

By the way, in their first memoir on the subject, [*"Étude des fonctions d'une variable imaginaire"*][3] (1856), Briot and Bouquet refer to a pole of a function only as *un infini du degré fini*.  








 


  [1]: http://jeff560.tripod.com/mathword.html
  [2]: http://visualiseur.bnf.fr/Visualiseur?Destination=Gallica&O=NUMM-99571
  [3]: http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k995680.r=briot.langEN