what is written below is a conjecture that I posed , and I ask for a proof or a disproof of it .I have checked  the conjecture from $n$=$1$ up to $n$=$10$  using Matlab, and all results were in agreement with the conjecture .
The conjecture is as follows : 
assume $x$ is a positive real variable that does not equal $1$ , and assume $y$ and $z$ are non-zero real variables , and consider for all $i, j \in \mathbb N$,
$$a(i,j) = \frac{(x^{yi+z} + 1)^{j-1} + (x^y-1)}{x^y}$$ ; then for all $n \in \mathbb N$ , the solution set of the matrix system 
$[a(i,j) \mid 1 \leq i \leq n, 1 \leq j \leq (1+n)]$ exists and is unique with respect to $n$ and $x$ and $y$ and $z$ ,and each element in it is a sum of powers of $x$ with integer coefficients , and each of these powers of $x$ has the power as a linear combination of $y$ and $z$ such that the coefficients of $y$ and $z$ are non-negative integers .

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###Example

For $n$=$7$, the solution set will be :

 $s1$=x^y*x^z + x^z*x^(2*y) + x^z*x^(3*y) + x^z*x^(4*y) + x^z*x^(5*y) + x^z*x^(6*y) + x^z*x^(7*y) + x^(3*y)*x^(2*z) + x^(4*y)*x^(2*z) + 2*x^(5*y)*x^(2*z) + 2*x^(6*y)*x^(2*z) + x^(6*y)*x^(3*z) + 3*x^(7*y)*x^(2*z) + x^(7*y)*x^(3*z) + 3*x^(8*y)*x^(2*z) + 2*x^(8*y)*x^(3*z) + 3*x^(9*y)*x^(2*z) + 3*x^(9*y)*x^(3*z) + 2*x^(10*y)*x^(2*z) + 4*x^(10*y)*x^(3*z) + 2*x^(11*y)*x^(2*z) + x^(10*y)*x^(4*z) + 4*x^(11*y)*x^(3*z) + x^(12*y)*x^(2*z) + x^(11*y)*x^(4*z) + 5*x^(12*y)*x^(3*z) + x^(13*y)*x^(2*z) + 2*x^(12*y)*x^(4*z) + 4*x^(13*y)*x^(3*z) + 3*x^(13*y)*x^(4*z) + 4*x^(14*y)*x^(3*z) + 4*x^(14*y)*x^(4*z) + 3*x^(15*y)*x^(3*z) + 4*x^(15*y)*x^(4*z) + 2*x^(16*y)*x^(3*z) + x^(15*y)*x^(5*z) + 5*x^(16*y)*x^(4*z) + x^(17*y)*x^(3*z) + x^(16*y)*x^(5*z) + 4*x^(17*y)*x^(4*z) + x^(18*y)*x^(3*z) + 2*x^(17*y)*x^(5*z) + 4*x^(18*y)*x^(4*z) + 2*x^(18*y)*x^(5*z) + 3*x^(19*y)*x^(4*z) + 3*x^(19*y)*x^(5*z) + 2*x^(20*y)*x^(4*z) + 3*x^(20*y)*x^(5*z) + x^(21*y)*x^(4*z) + 3*x^(21*y)*x^(5*z) + x^(22*y)*x^(4*z) + x^(21*y)*x^(6*z) + 2*x^(22*y)*x^(5*z) + x^(22*y)*x^(6*z) + 2*x^(23*y)*x^(5*z) + x^(23*y)*x^(6*z) + x^(24*y)*x^(5*z) + x^(24*y)*x^(6*z) + x^(25*y)*x^(5*z) + x^(25*y)*x^(6*z) + x^(26*y)*x^(6*z) + x^(27*y)*x^(6*z) + x^(27*y)*x^(7*z) + 1


$s2$=- 6*x^y*x^z - 6*x^z*x^(2*y) - 6*x^z*x^(3*y) - 6*x^z*x^(4*y) - 6*x^z*x^(5*y) - 6*x^z*x^(6*y) - 6*x^z*x^(7*y) - 5*x^(3*y)*x^(2*z) - 5*x^(4*y)*x^(2*z) - 10*x^(5*y)*x^(2*z) - 10*x^(6*y)*x^(2*z) - 4*x^(6*y)*x^(3*z) - 15*x^(7*y)*x^(2*z) - 4*x^(7*y)*x^(3*z) - 15*x^(8*y)*x^(2*z) - 8*x^(8*y)*x^(3*z) - 15*x^(9*y)*x^(2*z) - 12*x^(9*y)*x^(3*z) - 10*x^(10*y)*x^(2*z) - 16*x^(10*y)*x^(3*z) - 10*x^(11*y)*x^(2*z) - 3*x^(10*y)*x^(4*z) - 16*x^(11*y)*x^(3*z) - 5*x^(12*y)*x^(2*z) - 3*x^(11*y)*x^(4*z) - 20*x^(12*y)*x^(3*z) - 5*x^(13*y)*x^(2*z) - 6*x^(12*y)*x^(4*z) - 16*x^(13*y)*x^(3*z) - 9*x^(13*y)*x^(4*z) - 16*x^(14*y)*x^(3*z) - 12*x^(14*y)*x^(4*z) - 12*x^(15*y)*x^(3*z) - 12*x^(15*y)*x^(4*z) - 8*x^(16*y)*x^(3*z) - 2*x^(15*y)*x^(5*z) - 15*x^(16*y)*x^(4*z) - 4*x^(17*y)*x^(3*z) - 2*x^(16*y)*x^(5*z) - 12*x^(17*y)*x^(4*z) - 4*x^(18*y)*x^(3*z) - 4*x^(17*y)*x^(5*z) - 12*x^(18*y)*x^(4*z) - 4*x^(18*y)*x^(5*z) - 9*x^(19*y)*x^(4*z) - 6*x^(19*y)*x^(5*z) - 6*x^(20*y)*x^(4*z) - 6*x^(20*y)*x^(5*z) - 3*x^(21*y)*x^(4*z) - 6*x^(21*y)*x^(5*z) - 3*x^(22*y)*x^(4*z) - x^(21*y)*x^(6*z) - 4*x^(22*y)*x^(5*z) - x^(22*y)*x^(6*z) - 4*x^(23*y)*x^(5*z) - x^(23*y)*x^(6*z) - 2*x^(24*y)*x^(5*z) - x^(24*y)*x^(6*z) - 2*x^(25*y)*x^(5*z) - x^(25*y)*x^(6*z) - x^(26*y)*x^(6*z) - x^(27*y)*x^(6*z) - 7


$s3$=15*x^y*x^z + 15*x^z*x^(2*y) + 15*x^z*x^(3*y) + 15*x^z*x^(4*y) + 15*x^z*x^(5*y) + 15*x^z*x^(6*y) + 15*x^z*x^(7*y) + 10*x^(3*y)*x^(2*z) + 10*x^(4*y)*x^(2*z) + 20*x^(5*y)*x^(2*z) + 20*x^(6*y)*x^(2*z) + 6*x^(6*y)*x^(3*z) + 30*x^(7*y)*x^(2*z) + 6*x^(7*y)*x^(3*z) + 30*x^(8*y)*x^(2*z) + 12*x^(8*y)*x^(3*z) + 30*x^(9*y)*x^(2*z) + 18*x^(9*y)*x^(3*z) + 20*x^(10*y)*x^(2*z) + 24*x^(10*y)*x^(3*z) + 20*x^(11*y)*x^(2*z) + 3*x^(10*y)*x^(4*z) + 24*x^(11*y)*x^(3*z) + 10*x^(12*y)*x^(2*z) + 3*x^(11*y)*x^(4*z) + 30*x^(12*y)*x^(3*z) + 10*x^(13*y)*x^(2*z) + 6*x^(12*y)*x^(4*z) + 24*x^(13*y)*x^(3*z) + 9*x^(13*y)*x^(4*z) + 24*x^(14*y)*x^(3*z) + 12*x^(14*y)*x^(4*z) + 18*x^(15*y)*x^(3*z) + 12*x^(15*y)*x^(4*z) + 12*x^(16*y)*x^(3*z) + x^(15*y)*x^(5*z) + 15*x^(16*y)*x^(4*z) + 6*x^(17*y)*x^(3*z) + x^(16*y)*x^(5*z) + 12*x^(17*y)*x^(4*z) + 6*x^(18*y)*x^(3*z) + 2*x^(17*y)*x^(5*z) + 12*x^(18*y)*x^(4*z) + 2*x^(18*y)*x^(5*z) + 9*x^(19*y)*x^(4*z) + 3*x^(19*y)*x^(5*z) + 6*x^(20*y)*x^(4*z) + 3*x^(20*y)*x^(5*z) + 3*x^(21*y)*x^(4*z) + 3*x^(21*y)*x^(5*z) + 3*x^(22*y)*x^(4*z) + 2*x^(22*y)*x^(5*z) + 2*x^(23*y)*x^(5*z) + x^(24*y)*x^(5*z) + x^(25*y)*x^(5*z) + 21


$s4$=- 20*x^y*x^z - 20*x^z*x^(2*y) - 20*x^z*x^(3*y) - 20*x^z*x^(4*y) - 20*x^z*x^(5*y) - 20*x^z*x^(6*y) - 20*x^z*x^(7*y) - 10*x^(3*y)*x^(2*z) - 10*x^(4*y)*x^(2*z) - 20*x^(5*y)*x^(2*z) - 20*x^(6*y)*x^(2*z) - 4*x^(6*y)*x^(3*z) - 30*x^(7*y)*x^(2*z) - 4*x^(7*y)*x^(3*z) - 30*x^(8*y)*x^(2*z) - 8*x^(8*y)*x^(3*z) - 30*x^(9*y)*x^(2*z) - 12*x^(9*y)*x^(3*z) - 20*x^(10*y)*x^(2*z) - 16*x^(10*y)*x^(3*z) - 20*x^(11*y)*x^(2*z) - x^(10*y)*x^(4*z) - 16*x^(11*y)*x^(3*z) - 10*x^(12*y)*x^(2*z) - x^(11*y)*x^(4*z) - 20*x^(12*y)*x^(3*z) - 10*x^(13*y)*x^(2*z) - 2*x^(12*y)*x^(4*z) - 16*x^(13*y)*x^(3*z) - 3*x^(13*y)*x^(4*z) - 16*x^(14*y)*x^(3*z) - 4*x^(14*y)*x^(4*z) - 12*x^(15*y)*x^(3*z) - 4*x^(15*y)*x^(4*z) - 8*x^(16*y)*x^(3*z) - 5*x^(16*y)*x^(4*z) - 4*x^(17*y)*x^(3*z) - 4*x^(17*y)*x^(4*z) - 4*x^(18*y)*x^(3*z) - 4*x^(18*y)*x^(4*z) - 3*x^(19*y)*x^(4*z) - 2*x^(20*y)*x^(4*z) - x^(21*y)*x^(4*z) - x^(22*y)*x^(4*z) - 35


$s5$=15*x^y*x^z + 15*x^z*x^(2*y) + 15*x^z*x^(3*y) + 15*x^z*x^(4*y) + 15*x^z*x^(5*y) + 15*x^z*x^(6*y) + 15*x^z*x^(7*y) + 5*x^(3*y)*x^(2*z) + 5*x^(4*y)*x^(2*z) + 10*x^(5*y)*x^(2*z) + 10*x^(6*y)*x^(2*z) + x^(6*y)*x^(3*z) + 15*x^(7*y)*x^(2*z) + x^(7*y)*x^(3*z) + 15*x^(8*y)*x^(2*z) + 2*x^(8*y)*x^(3*z) + 15*x^(9*y)*x^(2*z) + 3*x^(9*y)*x^(3*z) + 10*x^(10*y)*x^(2*z) + 4*x^(10*y)*x^(3*z) + 10*x^(11*y)*x^(2*z) + 4*x^(11*y)*x^(3*z) + 5*x^(12*y)*x^(2*z) + 5*x^(12*y)*x^(3*z) + 5*x^(13*y)*x^(2*z) + 4*x^(13*y)*x^(3*z) + 4*x^(14*y)*x^(3*z) + 3*x^(15*y)*x^(3*z) + 2*x^(16*y)*x^(3*z) + x^(17*y)*x^(3*z) + x^(18*y)*x^(3*z) + 35


$s6$=- 6*x^y*x^z - 6*x^z*x^(2*y) - 6*x^z*x^(3*y) - 6*x^z*x^(4*y) - 6*x^z*x^(5*y) - 6*x^z*x^(6*y) - 6*x^z*x^(7*y) - x^(3*y)*x^(2*z) - x^(4*y)*x^(2*z) - 2*x^(5*y)*x^(2*z) - 2*x^(6*y)*x^(2*z) - 3*x^(7*y)*x^(2*z) - 3*x^(8*y)*x^(2*z) - 3*x^(9*y)*x^(2*z) - 2*x^(10*y)*x^(2*z) - 2*x^(11*y)*x^(2*z) - x^(12*y)*x^(2*z) - x^(13*y)*x^(2*z) - 21


$s7$=x^y*x^z + x^z*x^(2*y) + x^z*x^(3*y) + x^z*x^(4*y) + x^z*x^(5*y) + x^z*x^(6*y) + x^z*x^(7*y) + 7
 

Thank you .