In his 1951 report [Sur la théorie du corps de classes](https://projecteuclid.org/euclid.jmsj/1261734944), Weil writes that

> *La recherche d'une interprétation de* $C_k$ *si* $k$ *est un corps de
> nombres*, analogue en quelque manière
> à l'interprétation par un groupe de
> Galois quand $k$ est un corps de
> fonctions, *me semble constituer l'un
> des problèmes fondamentaux de la
> théorie des
> nombres* à l'heure actuelle; il se
> peut qu'une telle interprétation
> renferme la clef de l'hypothèse de
> Riemann ….

As requested by [@PeteL.Clark](https://mathoverflow.net/questions/41296/lun-des-problèmes-fondamentaux-de-la-théorie-des-nombres#comment97379_41296), a translation (by [@TonyScholl](https://mathoverflow.net/questions/41296/lun-des-problèmes-fondamentaux-de-la-théorie-des-nombres#comment97392_41296)):

> The search for an interpretation for $C_k$, where $k$ is a number field—in some way analogous to its interpretation by a Galois group when $k$ is a function field—seems to me to be one of the fundamental problems of number theory today; perhaps such an interpretation contains the key to the Riemann hypothesis ….

Here, $C_k$ is of course the idèle class group of the number field $k$.

I've heard that some people working in noncommutative geometry have thought about this problem.

**Question.** What progress has since been made towards such an interpretation?