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> Remarquons que l'on peut démontrer, sans l'aide de l'axiome de M. Zermelo, le théorème de M. J Konig d'après lequel la puissance du continu n'est pas $\aleph_\omega$. Cela résulte de ce que l'hypothèse suivante: la puissance du continu est $\aleph_\omega$, contient l'hypothèse que voici: le continu peut être regardé comme un ensemble bien ordonné; cette hypothèse, sans un appel à un nouvel axiome, justifie tous les choix nécessaires pour le raisonnement ultérieur.

> On peut démontrer, sans que l'on ait à appliquer l'axiome de M. Zermelo, que l'ensemble de toutes les suites infinies des nombres réels a la puissance du continu; mais on ne sait pas démontrer sans l'aide de cet axiome que l'ensemble de tous les sous-ensembles dénombrables du continu a la puissance du continu. En effet, pour démontrer ce dernier théorème, on divise en classes toutes les suites infinies, en rangeant dans une même classe .toutes les suites qui ne différent que par l'ordre de leurs termes et l'on choisit une suite de chacune de ces classes. Or on peut démontrer, sans avoir recours à l'axiome du choix, que l'ensemble de tous les sous- ensembles finis du continu a la puissance du continu; on le peut grâce à ce que le continu peut être ordonné. On peut aussi démontrer, sans l'aide de l'axiome de M. Zermelo, que l'ensemble de tous les sous-ensembles d'un ensemble dénombrable a la puissance dil continu.

> On ne sait pas démontrer sans l'aide de cet axiome que, si $P_1,P_2,P_3,\ldots$ et
$Q_1,Q_2,Q_3,\ldots$ sont deux suites infinies d'ensembles sans éléments communs deux à deux telles que, pour tout $n$ naturel, l'ensemble $P_n$ ait la même puissance que l'ensemble $Q_n$,l'ensemble-somme $S = P_1+P_2+P_3+\cdots$ a la même puissance que l'ensemble-somme $T = Q_1+Q_2+Q_3+\cdots$ Pour démontrer ce théorème, on considère, pour tout $n$ naturel, une correspondance biunivoque entre $P_n$ et $Q_n$; or il existe en général une infinité de telles correspondances entre deux ensembles ayant même puissance; ainsi, chaque fois, il faudra en choisir une. La définition de la somme d'une série infinie de nombres cardinaux est basée sur le théorème cité; par conséquent nous ne savons pas introduire la notion de la somme d'une série de nombres cardinaux sans nous appuyer sur l'axiome de M. Zermelo. La même remarque concerne la notion du produit infini de nombres cardinaux.

> En particulier, les formules 
$$\begin{aligned}
2+2+2+\cdots &= \aleph_0 \\
\aleph_0+\aleph_0+\aleph_0+\cdots &= \aleph_0 \\
2^{\aleph_0}+2^{\aleph_0}+2^{\aleph_0}+\cdots &= 2^{\aleph_0}
\end{aligned}$$ ne peuvent être démontrées sans l'appui de l'axiome de M. Zermelo. Sans l'invoquer on ne sait non plus démontrer que la somme d'une infinité effectivement énumérable d'ensembles effectivement énumérables est un ensemble dénombrable. (Nous appelons, d'après M. Borel, un ensemble $E$ effectivement énumérable lorsque nous savons établir au moins une loi d'après laquelle, à tout élément de $E$, correspond un nombre naturel bien déterminé et réciproquement. Un ensemble est dit dénombrable lorsqu'on sait seulement qu'au moins une loi pareille existe. On ne connaît d'ailleurs aucun exemple individuel d'un ensemble dénombrable qui ne soit pas effectivement énumérable). En effet, soit $E_1, E_2,E_3,\ldots$ une suite infinie donnée d'ensembles effectivement énumérables. Donc, pour tout $n$ naturel nous saxons au moins d'une manière ranger l'ensemble $E_n$ en me suite infinie; pour en déduire la suite double qu'on transforme ensuite par la méthode des diagonales en une suite simple, il faut choisir pour tout $n$ une suite infinie formée de tous les éléments de $E_n$. Si l'on a une suite infinie $E_1, E_2,E_3,\ldots$ d'ensembles effectivement énumérables et si l'on sait définir une loi d'après laquelle, à tout nombre naturel $n$, correspond une suite infinie bien déterminée contenant tous les éléments de $E_n$, l'ensemble-somme $E_1+E_2+E_3+\cdots$ est effectivement énumérable.

> Nous pouvons même démontrer que le théorème d'après lequel l'ensemble-somme d'une infinité dénombrable d'ensembles dénombrables est lui-même dénombrable, entraîne l'axiome de M. Zermelo pour toute infinité dénombrable d'ensembles dénombrables. Admettons, en effet, le théorème suivant: l'ensemble-somme d'une infinité dénombrable d'ensembles dénombrables est dénombrable; soit $P_1,P_2,P_3,\ldots$ une suite infinie d'ensembles déombrables sans éléments communs deux à deux. Posons $S = P_1+P_2+P_3+\cdots$ D'après le théorème que nous venons d'admettre, l'ensemble $S$ est dénombrable; il existe par conséquent une suite infinie $u_1,u_2,u_3,\ldots$ formée de tous les éléments de $S$. Pour tout $n$ naturel désignons par $u_{k_n}$, le premier terme de cette suite appartenant à $P_n$; la suite $u_{k_1},u_{k_2},u_{k_3},\ldots$ contiendra évidemment un et un seul élément de tout ensemble $P$, $(n= 1,2,3,\ldots)$.

> Ainsi, admettre, dans un cas particulier, l'exactitude de l'axiome de M. Zermelo est nécessaire pour démontrer la dénombrabilité d'une somme d'une infinité dénombrable d'ensembles dénombrables. Nous pouvons indiquer un autre cas particulier du même axiome qui suffit à lui seul pour démontrer le théorème considéré. C'est l'axiome de M. Zermelo appliqué à toute infinité dénombrable d'ensembles de puissance du continu. Cela résulte de ce qu'il existe toujours une infinité de la puissance du continu de correspondances biunivoques entre deux ensembles dénombrables.

> Remarquons d'autre part que nous ne savons même pas démontrer, sans l'aide de l'axiome de M. Zermelo, que le continu ne puisse être décomposé en une infinité dénombrable d'ensembles dénombrables; ni même qu'une somme d'une infinité dénombrable d'ensembles dénombrables ne puisse avoir de puissance supérieure à celle du continu. Cependant nous savons démontrer, sans avoir recours à l'axiome de M. Zermelo, que $\aleph_0\cdot\aleph_0 = \aleph_0$. D'autre part, nous ne savons pas démontrer, sans faire appel à cet axiome, que le continu ne puisse être décomposé en une infinité de puissance supérieure à celle du continu d'ensembles non vides.