This is not an answer, just a comment to give another display of the results for smaller $n$. It is produced using Pari/GP and its inherent "ispseudoprime()" function.
I document the (odd) initial number $n$ and then a string of numbers. Here the numbers mean the number of consecutive division operations after one squaring operation. If $n$ is a (strong pseudo-) prime then the string of numbers begins with a zero, because the number of division-operations is zero before the first squaring operation occurs.
*(btw: Pari/GP gives also a finite length for $n=229$; (the same number $6093$ steps as in @Mirko's comment)*
3 : 0,2
5 : 0,3,2
7 : 0,4,2
9 : 2
11 : 0,4,4,2
13 : 0,5,3,2
15 : 1,4,2
17 : 0,7
19 : 0,5,4,4,2
21 : 2,3,2
23 : 0,8
25 : 3,2
27 : 1,5,3,2
29 : 0,6,5,3,2
31 : 0,7,4,2
33 : 4
35 : 1,7
37 : 0,8,3,2
39 : 1,5,4,4,2
41 : 0,7,5,3,2
43 : 0,8,4,2
45 : 2,4,4,2
47 : 0,7,7
49 : 4,2
51 : 4,2
53 : 0,6,8,4,2
55 : 2,5,3,2
57 : 3,4,2
59 : 0,8,5,3,2
61 : 0,7,6,5,3,2
63 : 1,7,4,2
65 : 5
67 : 0,8,7
69 : 2,7
71 : 0,5,13,2
73 : 0,6,6,7,7,7,6,5,3,2
75 : 1,8,3,2
77 : 2,5,4,4,2
79 : 0,6,7,6,6,7,7,7,6,5,3,2
81 : 4,3,2
83 : 0,6,7,7,7,6,5,3,2
85 : 4,3,2
87 : 1,8,4,2
89 : 0,7,7,6,5,3,2
91 : 3,4,4,2
93 : 2,8
95 : 1,7,7
97 : 0,7,6,6,7,7,7,6,5,3,2
99 : 5,2
101 : 0,7,6,7,6,6,7,7,7,6,5,3,2
103 : 0,5,11,6,8,4,2
105 : 3,5,3,2
107 : 0,7,7,7,6,5,3,2
109 : 0,9,8
111 : 3,5,3,2
113 : 0,6,5,12,9,10,5,13,2
115 : 4,4,2
117 : 2,6,5,3,2
119 : 1,8,5,3,2
121 : 4,4,2
123 : 1,7,6,5,3,2
125 : 2,7,4,2
127 : 0,9,7,4,2
129 : 6
131 : 0,8,8,7
133 : 6
135 : 1,8,7
137 : 0,6,9,11,5,3,2
139 : 0,9,8,3,2
141 : 3,7
143 : 1,5,13,2
145 : 6
147 : 1,6,6,7,7,7,6,5,3,2
149 : 0,7,6,6,12,17,7,6,5,3,2
151 : 0,8,7,7,6,5,3,2
153 : 3,5,4,4,2
155 : 3,5,4,4,2
157 : 0,13,2
159 : 1,6,7,6,6,7,7,7,6,5,3,2
161 : 5,3,2
163 : 0,8,5,11,6,8,4,2
165 : 2,7,5,3,2
167 : 0,11,5,3,2
169 : 5,3,2
171 : 5,3,2
173 : 0,6,6,12,17,7,6,5,3,2
175 : 2,8,4,2
177 : 4,4,4,2
179 : 0,10,7,4,2
181 : 0,8,9,7,4,2
183 : 4,4,4,2
185 : 3,8
187 : 3,8
189 : 2,7,7
191 : 0,9,5,13,2
193 : 0,14
195 : 1,7,6,6,7,7,7,6,5,3,2
197 : 0,8,8,7,7,6,5,3,2
199 : 0,5,12,9,10,5,13,2
201 : 6,2
203 : 1,7,6,7,6,6,7,7,7,6,5,3,2
205 : 6,2
207 : 1,5,11,6,8,4,2
209 : 4,5,3,2
211 : 0,7,12,6,5,3,2
213 : 2,6,8,4,2
215 : 1,7,7,7,6,5,3,2
217 : 4,5,3,2
219 : 1,9,8
221 : 4,5,3,2
223 : 0,9,7,6,6,7,7,7,6,5,3,2
225 : 5,4,2
227 : 0,14,2
229 : 0,7,5,7,8,25,34,19,26,58,28,8,8,21,10,13,5,21,25,7,32,10,13,6,5,14,18,20,9,27,12,41,33,14,11,52,25,37,52,14,23,141,35,79,78,64,149,23,446,167,341,716,22,165,316,337,152,65,62,1038,179,369,71,287,69,20,6,7,7,7,6,5,3,2
231 : 5,4,2
233 : 0,10,6,8,4,2
235 : 3,6,5,3,2
237 : 2,8,5,3,2
239 : 0,8,9,7,6,6,7,7,7,6,5,3,2
241 : 0,6,6,20,13,2
243 : 5,4,2
245 : 2,7,6,5,3,2
247 : 2,7,6,5,3,2
249 : 3,7,4,2
251 : 0,10,7,6,5,3,2
253 : 3,7,4,2
255 : 1,9,7,4,2
257 : 0,15
259 : 7
261 : 7
263 : 0,5,16,5,13,2
265 : 7
267 : 7
269 : 0,12,7
271 : 0,10,5,13,2
273 : 4,7
275 : 1,6,9,11,5,3,2
277 : 0,7,7,7,20,14,6,9,18,10,21,28,7,23,74,20,56,100,118,214,113,600,16,62,293,58,45,13,9,22,12,5,4,4,2
279 : 1,9,8,3,2
281 : 0,5,8,10,22,25,13,2
283 : 0,12,5,4,4,2
285 : 2,5,13,2
287 : 2,5,13,2
289 : 7
291 : 7
293 : 0,9,11,5,3,2
295 : 2,6,6,7,7,7,6,5,3,2
297 : 3,8,3,2
299 : 1,7,6,6,12,17,7,6,5,3,2
*Update 2024*
Here I give the Pari/GP-computed results for the cases which could not be solved by @mirkos routine in his comment. I used Pari/GP's "ispseudoprime()" function which allows fast testing to rather large primes
397: 0, 7, 6, 19, 8, 9, 6, 18, 9, 8, 96, 44, 203, 98, 54, 35, 214
827: 0, 8, 10, 15, 9, 13, 9, 14, 9, 7, 22, 15, 35, 37, 68, 49, 27, 10, 53, 145, 201
1009: 0, 6, 11, 12, 24, 8, 25, 29, 54, 15, 78, 49, 6, 12, 140, 11, 317, 71
1061: 0, 8, 8, 21, 10, 13, 5, 21, 25, 7, 32, 10, 13, 6, 5, 14, 18, 20, 9, 27, 12, 41, 33, 14, 11, 52, 25, 37, 52, 14, 23, 141, 35, 79, 78
1069: 0, 8, 9, 6, 18, 9, 8, 96, 44, 203, 98, 54, 35, 214
1091: 0, 8, 14, 5, 8, 34, 18, 7, 5, 7, 8, 25, 34, 19, 26, 58, 28, 8, 8, 21, 10, 13, 5, 21, 25, 7, 32, 10, 13, 6, 5, 14, 18, 20, 9, 27, 12, 41, 33, 14, 11, 52, 25, 37, 52, 14, 23
1123: 0, 10, 6, 19, 8, 9, 6, 18, 9, 8, 96, 44, 203, 98, 54, 35, 214
1129: 0, 12, 6, 5, 14, 18, 20, 9, 27, 12, 41, 33, 14, 11, 52, 25, 37, 52, 14, 23, 141, 35, 79, 78, 64, 149
1193: 0, 7, 9, 21, 17, 6, 5, 17, 33, 37, 54, 217, 14, 138, 25, 8, 12, 113, 18
{listf(a0,maxk=1000)=my(ql=List,cnt=0);
for(k=1,maxk,
if(a0==2,listput(ql,cnt);return(Vec(ql)));
if(ispseudoprime(a0),
a0*=a0;listput(ql,cnt);cnt=0,
a0 \= 2;cnt++);
);
Vec(ql)}