If $3 \not \in S$ then the answer to Question($S$) is **yes**.  

There are integral commutative fusion rings which are *not* of Frobenius type.

*Examples*: 

- Non-simple: rank $4$, FPdim $15$, type $[1,1,2,3]$, and fusion rules:  

 $$ \begin{smallmatrix}
1&0&0&0 \\ 0&1&0&0 \\ 0&0&1&0 \\ 0&0&0&1
\end{smallmatrix}  , \  \begin{smallmatrix}
0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1
\end{smallmatrix}  , \  \begin{smallmatrix}
0&0&1&0\\0&0&1&0\\1&1&1&0\\0&0&0&2
\end{smallmatrix}  , \  \begin{smallmatrix}
0&0&0&1\\0&0&0&1\\0&0&0&2\\1&1&2&1
\end{smallmatrix}  $$

- **Simple**: rank $6$, FPdim $143$, type $[1,4,4,5,6,7]$, and fusion rules: 

$$ \begin{smallmatrix}1&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0\\0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&1\end{smallmatrix}  , \  \begin{smallmatrix}0&1&0&0&0&0\\1&0&1&1&1&0\\0&1&0&1&0&1\\0&1&1&1&0&1\\0&1&0&0&1&2\\0&0&1&1&2&1\end{smallmatrix}  , \  \begin{smallmatrix}0&0&1&0&0&0\\0&1&0&1&0&1\\1&0&2&0&0&1\\0&1&0&2&1&0\\0&0&0&1&2&1\\0&1&1&0&1&2\end{smallmatrix}  , \  \begin{smallmatrix}0&0&0&1&0&0\\0&1&1&1&0&1\\0&1&0&2&1&0\\1&1&2&1&0&1\\0&0&1&0&2&2\\0&1&0&1&2&2\end{smallmatrix}  , \  \begin{smallmatrix}0&0&0&0&1&0\\0&1&0&0&1&2\\0&0&0&1&2&1\\0&0&1&0&2&2\\1&1&2&2&1&1\\0&2&1&2&1&2\end{smallmatrix}  , \  \begin{smallmatrix}0&0&0&0&0&1\\0&0&1&1&2&1\\0&1&1&0&1&2\\0&1&0&1&2&2\\0&2&1&2&1&2\\1&1&2&2&2&2\end{smallmatrix} 
$$

Note that $15= 3 \times 5$ and $143 = 11 \times 13$. They admit no categorification because by [MR2098028][1], any fusion category of Frobenius-Perron dimension $pq$ (with $p,q$ different odd primes) is group-theoretical, whereas by [MR2735754][2], a (weakly) group theoretical fusion category is of Frobenius type.    


Now, two new simple examples on which a unitary categorification cannot be excluded according to my current knowledge:  

-  rank $7$, FPdim $560 = 2^4 \cdot 5 \cdot 7$,  type  $[1,6,7,7,10,10,15]$ and fusion rules: 

$$ \begin{smallmatrix}1&0&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0&0\\0&0&0&1&0&0&0\\0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&0&1\end{smallmatrix}  ,\begin{smallmatrix}0&1&0&0&0&0&0\\1&0&0&0&1&1&1\\0&0&1&0&1&1&1\\0&0&0&1&1&1&1\\0&1&1&1&0&1&2\\0&1&1&1&1&0&2\\0&1&1&1&2&2&2\end{smallmatrix},  \begin{smallmatrix}0&0&1&0&0&0&0\\0&0&1&0&1&1&1\\1&1&0&1&1&1&1\\0&0&1&1&1&1&1\\0&1&1&1&1&1&2\\0&1&1&1&1&1&2\\0&1&1&1&2&2&3\end{smallmatrix}  ,  \begin{smallmatrix}0&0&0&1&0&0&0\\0&0&0&1&1&1&1\\0&0&1&1&1&1&1\\1&1&1&0&1&1&1\\0&1&1&1&1&1&2\\0&1&1&1&1&1&2\\0&1&1&1&2&2&3\end{smallmatrix}  ,   \begin{smallmatrix}0&0&0&0&1&0&0\\0&1&1&1&0&1&2\\0&1&1&1&1&1&2\\0&1&1&1&1&1&2\\0&1&1&1&2&3&2\\1&0&1&1&2&2&3\\0&2&2&2&3&2&4\end{smallmatrix}  ,   \begin{smallmatrix}0&0&0&0&0&1&0\\0&1&1&1&1&0&2\\0&1&1&1&1&1&2\\0&1&1&1&1&1&2\\1&0&1&1&2&2&3\\0&1&1&1&3&2&2\\0&2&2&2&2&3&4\end{smallmatrix}  ,   \begin{smallmatrix}0&0&0&0&0&0&1\\0&1&1&1&2&2&2\\0&1&1&1&2&2&3\\0&1&1&1&2&2&3\\0&2&2&2&3&2&4\\0&2&2&2&2&3&4\\1&2&3&3&4&4&6\end{smallmatrix}  $$


- rank $7$, FPdim $798=2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 19$,  type  $[1,7,8,9,9,9,21]$ and fusion rules:  

$$ \begin{smallmatrix}1&0&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0&0\\0&0&0&1&0&0&0\\0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&0&1\end{smallmatrix}  ,  \begin{smallmatrix}0&1&0&0&0&0&0\\1&0&0&1&1&1&1\\0&0&1&1&1&1&1\\0&1&1&1&1&1&1\\0&1&1&1&1&1&1\\0&1&1&1&1&1&1\\0&1&1&1&1&1&5\end{smallmatrix}  ,   \begin{smallmatrix}0&0&1&0&0&0&0\\0&0&1&1&1&1&1\\1&1&1&1&1&1&1\\0&1&1&2&1&1&1\\0&1&1&1&2&1&1\\0&1&1&1&1&2&1\\0&1&1&1&1&1&6\end{smallmatrix}  ,   \begin{smallmatrix}0&0&0&1&0&0&0\\0&1&1&1&1&1&1\\0&1&1&2&1&1&1\\1&1&2&1&1&2&1\\0&1&1&1&2&2&1\\0&1&1&2&2&1&1\\0&1&1&1&1&1&7\end{smallmatrix}  ,   \begin{smallmatrix}0&0&0&0&1&0&0\\0&1&1&1&1&1&1\\0&1&1&1&2&1&1\\0&1&1&1&2&2&1\\1&1&2&2&1&1&1\\0&1&1&2&1&2&1\\0&1&1&1&1&1&7\end{smallmatrix}  ,   \begin{smallmatrix}0&0&0&0&0&1&0\\0&1&1&1&1&1&1\\0&1&1&1&1&2&1\\0&1&1&2&2&1&1\\0&1&1&2&1&2&1\\1&1&2&1&2&1&1\\0&1&1&1&1&1&7\end{smallmatrix}  ,   \begin{smallmatrix}0&0&0&0&0&0&1\\0&1&1&1&1&1&5\\0&1&1&1&1&1&6\\0&1&1&1&1&1&7\\0&1&1&1&1&1&7\\0&1&1&1&1&1&7\\1&5&6&7&7&7&8\end{smallmatrix}  $$


  [1]: https://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=2098028
  [2]: https://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=2735754