Looking at the paper of MALATIAN

"Faisceaux analytiques: étude du faisceau des rélations entre p fonctions holomorphes",

Séminaire Henry Cartan, tome 4 (1951-52), exp. n.15, p. 1-10

one finds the 

**Definition 3**
<blockquote>
"On dit qu'un sous-faisceau analytique $\mathcal{F}$ de $\mathcal{O}_E^q$ is $cohérent$ au point  $x \in E$, s'il existe un voisinage ouvert $U$ de $x$ et un système fini d'elements $u_i \in \mathcal{O}_U^q$ jouissant de la propriété suivante: pour tout $y \in U$, le sous-module de $\mathcal{O}_U^q$ engendré par les $u_i$ est précisement $\mathcal{F}_y$. 
On dit qu'un faisceau $\mathcal{F}$ est cohérent (tout court) s'il est coherent en tout point de $E$."
</blockquote>

And, in the following page:

<blockquote>
"...En d'autre termes, cette condition exprime que le faisceau $induit$ par $\mathcal{F}$ sur l'ouvert $U$ est "engendré" par un sous-module de $\mathcal{O}_U^q$."
</blockquote>

Reading this,  it seems (at least to me) that the original definition given by Cartan in its seminar is somehow related to the "coherent behaviour" of $\mathcal{F}$ as a subsheaf of $\mathcal{O}_U^q$, in terms of generation of the stalks. 

Maybe this is not all the story, and there are some earlier references relating the term "coherent" to some analytyc continuation principle, as Brian suggests. But I was not able to find any of them.