Here is finally a solution for the $n=7$ case!

$$M=\pmatrix
{1&T^{17}&T^{{32}}&T^{45}&T^{56}&T^{65}&T^{72}
\\0&1&2\cdot T^{17}& T^{32}&T^{45}&T^{56} &T^{65}
\\0&0&1&\color{red}{\frac98}\cdot T^{17}& \color{red}{\frac{171}{64}} \cdot T^{32}&T^{45}&T^{56}
\\0&0&0&1&\color{red}{\frac98}\cdot T^{17} &T^{32}&T^{45}
\\0&0&0&0&1&2\cdot T^{17}&T^{{32}}
\\0&0&0&0&0&1&T^{17}
\\0&0&0&0&0&0&1}
$$