The first counter-example is for $p=17$. The interval of length $40$ starting at $87890$ only yields three integers with largest prime factor greater than $17$: the primes $87917,87931$ and also $87929=83\cdot 3823$. So we can use the inteval of length $38$ starting at $87890$ or at $87891$.

$[ 2 \cdot   5 \cdot   11 \cdot   17
 \cdot   47 , 3 \cdot   29297 ,
  2^2 7 \cdot   43
 \cdot   73 , 13 \cdot   6761 ,
 2 \cdot    3^2 19
 \cdot   257  ]$
  
$[ 5 \cdot   17579 ,  2^{3} 10987 , 3 \cdot   83
 \cdot   353 , 2 \cdot   71 \cdot  
 619 , 7 \cdot   29 \cdot   433
  ]$
 
   
$[  2^2 3 \cdot   
 5^2 293 , 11
 \cdot   61 \cdot   131 , 2 \cdot  
 43951 ,  3^2 
9767 ,  2^{5} 41
 \cdot   67  ]$
 
$[ 5 \cdot   17581 , 2 \cdot   3
 \cdot    7^2 13 \cdot  
 23 , 17 \cdot   5171 , 
 2^2 21977 , 3
 \cdot   29303  ]$
      
$[ 2 \cdot   5 \cdot   59 \cdot   149
 , \mathbf87911 ,  2^{
3}  3^3 11 \cdot   37
 , 7 \cdot   19 \cdot   661 ,
 2 \cdot   113 \cdot   389  ]$
  
$[ 3 \cdot   5 \cdot   5861 , 
 2^2 31 \cdot   709 \cdot  
, \mathbf{87917} , 2 \cdot   3 \cdot   
14653 , 13 \cdot   6763  ]$
 
 
$[  2^{4} 5 \cdot   7
 \cdot   157 ,  3^2
 9769 , 2 \cdot   43961 ,
 11 \cdot   7993 ,  2^{2} 3 \cdot   17 \cdot   431 \cdot  
]$

$[  5^2 3517 , 
2 \cdot   43963 , 3 \cdot   7 \cdot  
 53 \cdot   79 ,  2^{3} 29 \cdot   379 , \mathbf{23
 \cdot   3823}  ]$