$$\mathrm y^\top \mbox{diag}(\mathrm A^\top \mathrm B \,\mathrm A) \,\mathrm y = \sum_{k=1}^n \mathrm e_k^\top\mathrm A^\top \mathrm B \,\mathrm A \,\mathrm e_k \, y_k^2 = \sum_{k=1}^n \mathrm a_k^\top \mathrm B \, \mathrm a_k \, y_k^2$$

where $\mathrm a_k$ is the $k$-th column of $\rm A$.