**Q:** What is the history of Eisenstein series? Did the mathematician Eisenstein actually encounter them?

**A:** Yes, he did, see <A HREF="https://ems.press/content/serial-article-files/8714">Elliptic Functions According to
Eisenstein and Kronecker</A>. 

The reference is <A HREF="https://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?PPN243919689_0035"> Beiträge zu Theorie der elliptischen Functionen. VI. Genaue Untersuchungen der unendlichen Doppelproducte, aus welchen die elliptischen Functionen als Quotienten zusammengesetzt sind, und der mit ihnen zusammenhangenden Doppelreihen</A> (1847).

Eisenstein writes the double sum (on page 223) as   
<IMG SRC="https://i.sstatic.net/MDGa8.png" WIDTH="300"/>    
where $w=\alpha m+\beta n$ and the sum is over the two integers $m,n$.