For $n=10$ there exists such a matrix of rank(4):
$$
\begin{pmatrix} \phantom{-}4 &  \phantom{-}0 &  \phantom{-}0 &  \phantom{-}0 & -3 &  \phantom{-}0 &  \phantom{-}0 &  \phantom{-}0 & -1 & -1 \\
               \phantom{-}6 &  \phantom{-}1 &  \phantom{-}1 &  \phantom{-}0 &  \phantom{-}2 &  \phantom{-}0 & -1 & -1 &  \phantom{-}0 &  \phantom{-}0 \\ 
                \phantom{-}8 &  \phantom{-}0 &  \phantom{-}3 & -3 &  \phantom{-}0 &  \phantom{-}0 &  \phantom{-}0 &  \phantom{-}3 &  \phantom{-}1 & -2 \\
               -3 & -1 &  \phantom{-}0 & -1 &  \phantom{-}0 & -1 &  \phantom{-}0 &  \phantom{-}1 &  \phantom{-}0 &  \phantom{-}0 \\
                \phantom{-}0 &  \phantom{-}0 &  \phantom{-}1 & -1 &  \phantom{-}2 &  \phantom{-}0 &  \phantom{-}0 &  \phantom{-}1 &  \phantom{-}1 &  \phantom{-}0 \\
               -7 & -1 & -1 &  \phantom{-}0 &  \phantom{-}1 & -1 &  \phantom{-}0 &  \phantom{-}0 &  \phantom{-}0 &  \phantom{-}1 \\
               -3 &  \phantom{-}0 & -1 &  \phantom{-}1 & -2 &  \phantom{-}1 &  \phantom{-}1 &  \phantom{-}0 &  \phantom{-}0 &  \phantom{-}0\\
                \phantom{-}3 &  \phantom{-}0 &  \phantom{-}0 &  \phantom{-}0 &  \phantom{-}0 & -1 & -1 & -1 & -1 &  \phantom{-}0 \\
                \phantom{-}0 & -1 &  \phantom{-}0 & -1 &  \phantom{-}0 & -2 & -1 &  \phantom{-}0 & -1 &  \phantom{-}0 \\
                \phantom{-}0 & -2 &  \phantom{-}0 & -2 & -9 &  \phantom{-}0 &  \phantom{-}2 &  \phantom{-}4 & -1 & -3 
\end{pmatrix}
$$
Hence we can improve the upper bound to $c=\log_{10}(4)=0.6021$. I found this matrix using matlab. However I did not find any solution with $n=7$ and rank 3.