As far as I know the word separable was introduced by M. Fréchet in Sur quelques points du calcul fonctionnel, Rend. Circ. Mat. Palermo 22 (1906), 1-74. The paper can be obtained via this link (Springer). It's the famous paper in which he introduced metric spaces (he calls them classes (V), where (V) stands for voisinage -- neighborhood).
I quote the relevant passage [p. 23f]:
Nous appellerons ensuite classe séparable une classe qui puisse êre considérée d'au moins une façon comme l'ensemble dérivé d'un ensemble dénombrable de ses propres éléments.
[...]
Ceci étant, nous nous bornerons maintenant à l'étude des classes (V) NORMALES, c'est-à-dire parfaites, séparables et admettant une généralisation du théorème de CAUCHY. Cette limitation n'a du reste rien d'artificiel, elle provient directement de la comparaison des classes (V) avec les ensembles linéaires [...]
[...]
Passons maintenant aux classes séparables. On peut qualifier ainsi les ensembles linéaires en considérant la droite indéfinie comme l'ensemble dérivé de l'ensemble des points d'abscisses rationnelles. Mais il n'en est pas de même pour toute classe parfaite (V).
I am unable to translate this in a reasonable way. Very roughly he defines separable spaces as we do it today and says that in the following he will restrict attention to complete, perfect and separable metric spaces. The last quoted paragraph indeed confirms Qiaochu's comment.