The first counter-example is for $p=17$. The interval of length $40$ starting at $87890$ only yields three integers with largest prime factor greater than $17$: the primes $87917,87931$ and also $87929=23\cdot 3823$. So we can use the inteval of length $38$ starting at $87890$ or at $87891$.
$[ 2 \cdot 5 \cdot 11 \cdot 17 \cdot 47 , 3 \cdot 29297 , 2^2 7 \cdot 43 \cdot 73 , 13 \cdot 6761 , 2 \cdot 3^2 19 \cdot 257 ]$
$[ 5 \cdot 17579 , 2^{3} 10987 , 3 \cdot 83 \cdot 353 , 2 \cdot 71 \cdot 619 , 7 \cdot 29 \cdot 433 ]$
$[ 2^2 3 \cdot 5^2 293 , 11 \cdot 61 \cdot 131 , 2 \cdot 43951 , 3^2 9767 , 2^{5} 41 \cdot 67 ]$
$[ 5 \cdot 17581 , 2 \cdot 3 \cdot 7^2 13 \cdot 23 , 17 \cdot 5171 , 2^2 21977 , 3 \cdot 29303 ]$
$[ 2 \cdot 5 \cdot 59 \cdot 149 , \mathbf87911 , 2^{ 3} 3^3 11 \cdot 37 , 7 \cdot 19 \cdot 661 , 2 \cdot 113 \cdot 389 ]$
$[ 3 \cdot 5 \cdot 5861 , 2^2 31 \cdot 709 \cdot , \mathbf{87917} , 2 \cdot 3 \cdot 14653 , 13 \cdot 6763 ]$
$[ 2^{4} 5 \cdot 7 \cdot 157 , 3^2 9769 , 2 \cdot 43961 , 11 \cdot 7993 , 2^{2} 3 \cdot 17 \cdot 431 \cdot ]$
$[ 5^2 3517 , 2 \cdot 43963 , 3 \cdot 7 \cdot 53 \cdot 79 , 2^{3} 29 \cdot 379 , \mathbf{23 \cdot 3823} ]$