I cooked up a detailed proof in this file, even if it is not original, because I wanted to understand everything.
About Zoran Škoda's blog: it is factually false. Fibred categories appear right at the beginning of Grothendieck's 1959 Bourbaki exposé, §A.1. As for Gabriel, Grothendieck was very careful to credit people properly for their contributions, see e.g. the introduction to SGA1. Its exposés have no author name, except for XII and XIII duly attributed to Mrs Raynaud ("after unpublished notes by Grothendieck"), which implicitly means that all the others were written up by him. There is indeed a reference to Gabriel in Exposé VI (Catégories fibrées et descentes), and it says this:
Pour éviter certaines difficultés logiques, nous admettrons ici la notion d’Univers, qui est un ensemble « assez gros » pour qu’on n’en sorte pas par les opérations habituelles de la théorie des ensembles; un « axiome des Univers » garantit que tout objet se trouve dans un Univers. Pour des détails, voir un livre en préparation par C. Chevalley et le conférencier (1).
(1) Les auteurs définitifs sont C. Chevalley et P. Gabriel. Le livre doit sortir en l’an 3000. En attendant, cf. aussi SGA 4 I.
"Définitifs" in the footnote suggests that "le conférencier" does not mean Gabriel. His mention for the paternity of fibred categories seems to come from a confusion.