Looking at the paper of MALATIAN
"Faisceaux analytiques: étude du faisceau des rélations entre p fonctions holomorphes",
Séminaire Henry Cartan, tome 4 (1951-52), exp. n.15, p. 1-10
one finds the
Definition 3
"On dit qu'un sous-faisceau analytique $\mathcal{F}$ de $\mathcal{O}_E^q$ is $cohérent$ au point $x \in E$, s'il existe un voisinage ouvert $U$ de $x$ et un système fini d'elements $u_i \in \mathcal{O}_U^q$ jouissant de la propriété suivante: pour tout $y \in U$, le sous-module de $\mathcal{O}_U^q$ engendré par les $u_i$ est précisement $\mathcal{F}_y$. On dit qu'un faisceau $\mathcal{F}$ est cohérent (tout court) s'il est coherent en tout point de $E$."
And, in the following page:
"...En d'autre termes, cette condition exprime que le faisceau $induit$ par $\mathcal{F}$ sur l'ouvert $U$ est "engendré" par un sous-module de $\mathcal{O}_U^q$."
Reading this, it seems that the original definition given by Cartan in its seminar is somehow related to the "coherent behaviour" of $\mathcal{F}$ as a subsheaf of $\mathcal{O}_U^q$, in terms of generation of the stalks.
EDIT.
In fact this is not the whole story. Loking at the book of Grauert-Remmert, as Brian suggests, it appears that the word "coherent" was actually introduced by Cartan before,
in the '40; in fact, he investigate the so-called "coherent system of punctual modules" when studyng the Cousin's problem. But he did not write this in this seminar, when he introduced coherent analytic sheaves.
Grauert-Remmert write that "coherence is, in a vague sense, a local principle of analytic continuation".
And Cartan, in its recollected works, says
"En gros on peut dire que, pour en $A$-faisceaux $\mathcal{F}$ cohérent en un point $a$ de $A$, la connaissance du module $\mathcal{F}_a$ détermine les modules $\mathcal{F}_x$ attachées aux points $x$ suffisamment voisins de $a$."