Looking at the paper of MALATIAN
"Faisceaux analytiques: étude du faisceau des rélations entre p fonctions holomorphes",
Séminaire Henry Cartan, tome 4 (1951-52), exp. n.15, p. 1-10
one finds the
Definition 3
"On dit qu'un sous-faisceau analytique $\mathcal{F}$ de $\mathcal{O}_E^q$ is $cohérent$ au point $x \in E$, s'il existe un voisinage ouvert $U$ de $x$ et un système fini d'elements $u_i \in \mathcal{O}_U^q$ jouissant de la propriété suivante: pour tout $y \in U$, le sous-module de $\mathcal{O}_U^q$ engendré par les $u_i$ est précisement $\mathcal{F}_y$. On dit qu'un faisceau $\mathcal{F}$ est cohérent (tout court) s'il est coherent en tout point de $E$."
And, in the following page:
"...En d'autre termes, cette condition exprime que le faisceau $induit$ par $\mathcal{F}$ sur l'ouvert $U$ est "engendré" par un sous-module de $\mathcal{O}_U^q$."
So it seems (at least to me) that the definition given by Cartan in its seminar is related to the "coherent behaviour" of $\mathcal{F}$ as a subsheaf of $\mathcal{O}_U^q$, in terms of generation of the stalks.