This is not an answer, just a comment to give another display of the results for smaller $n$. It is produced using Pari/GP and its inherent "ispseudoprime()" function.       
I document the (odd) initial number $n$ and then a string of numbers. Here the numbers mean the number of consecutive division operations after one squaring operation.  If $n$ is a (strong pseudo-) prime then the string of numbers begins with a zero, because the number of division-operations is zero before the first squaring operation occurs.                  
    
*(btw: Pari/GP gives also a finite length for $n=229$; (the same number $6093$ steps as in @Mirko's comment)*

    3 : 0,2
    5 : 0,3,2
    7 : 0,4,2
    9 : 2
    11 : 0,4,4,2
    13 : 0,5,3,2
    15 : 1,4,2
    17 : 0,7
    19 : 0,5,4,4,2
    21 : 2,3,2
    23 : 0,8
    25 : 3,2
    27 : 1,5,3,2
    29 : 0,6,5,3,2
    31 : 0,7,4,2
    33 : 4
    35 : 1,7
    37 : 0,8,3,2
    39 : 1,5,4,4,2
    41 : 0,7,5,3,2
    43 : 0,8,4,2
    45 : 2,4,4,2
    47 : 0,7,7
    49 : 4,2
    51 : 4,2
    53 : 0,6,8,4,2
    55 : 2,5,3,2
    57 : 3,4,2
    59 : 0,8,5,3,2
    61 : 0,7,6,5,3,2
    63 : 1,7,4,2
    65 : 5
    67 : 0,8,7
    69 : 2,7
    71 : 0,5,13,2
    73 : 0,6,6,7,7,7,6,5,3,2
    75 : 1,8,3,2
    77 : 2,5,4,4,2
    79 : 0,6,7,6,6,7,7,7,6,5,3,2
    81 : 4,3,2
    83 : 0,6,7,7,7,6,5,3,2
    85 : 4,3,2
    87 : 1,8,4,2
    89 : 0,7,7,6,5,3,2
    91 : 3,4,4,2
    93 : 2,8
    95 : 1,7,7
    97 : 0,7,6,6,7,7,7,6,5,3,2
    99 : 5,2
    101 : 0,7,6,7,6,6,7,7,7,6,5,3,2
    103 : 0,5,11,6,8,4,2
    105 : 3,5,3,2
    107 : 0,7,7,7,6,5,3,2
    109 : 0,9,8
    111 : 3,5,3,2
    113 : 0,6,5,12,9,10,5,13,2
    115 : 4,4,2
    117 : 2,6,5,3,2
    119 : 1,8,5,3,2
    121 : 4,4,2
    123 : 1,7,6,5,3,2
    125 : 2,7,4,2
    127 : 0,9,7,4,2
    129 : 6
    131 : 0,8,8,7
    133 : 6
    135 : 1,8,7
    137 : 0,6,9,11,5,3,2
    139 : 0,9,8,3,2
    141 : 3,7
    143 : 1,5,13,2
    145 : 6
    147 : 1,6,6,7,7,7,6,5,3,2
    149 : 0,7,6,6,12,17,7,6,5,3,2
    151 : 0,8,7,7,6,5,3,2
    153 : 3,5,4,4,2
    155 : 3,5,4,4,2
    157 : 0,13,2
    159 : 1,6,7,6,6,7,7,7,6,5,3,2
    161 : 5,3,2
    163 : 0,8,5,11,6,8,4,2
    165 : 2,7,5,3,2
    167 : 0,11,5,3,2
    169 : 5,3,2
    171 : 5,3,2
    173 : 0,6,6,12,17,7,6,5,3,2
    175 : 2,8,4,2
    177 : 4,4,4,2
    179 : 0,10,7,4,2
    181 : 0,8,9,7,4,2
    183 : 4,4,4,2
    185 : 3,8
    187 : 3,8
    189 : 2,7,7
    191 : 0,9,5,13,2
    193 : 0,14
    195 : 1,7,6,6,7,7,7,6,5,3,2
    197 : 0,8,8,7,7,6,5,3,2
    199 : 0,5,12,9,10,5,13,2
    201 : 6,2
    203 : 1,7,6,7,6,6,7,7,7,6,5,3,2
    205 : 6,2
    207 : 1,5,11,6,8,4,2
    209 : 4,5,3,2
    211 : 0,7,12,6,5,3,2
    213 : 2,6,8,4,2
    215 : 1,7,7,7,6,5,3,2
    217 : 4,5,3,2
    219 : 1,9,8
    221 : 4,5,3,2
    223 : 0,9,7,6,6,7,7,7,6,5,3,2
    225 : 5,4,2
    227 : 0,14,2
    229 : 0,7,5,7,8,25,34,19,26,58,28,8,8,21,10,13,5,21,25,7,32,10,13,6,5,14,18,20,9,27,12,41,33,14,11,52,25,37,52,14,23,141,35,79,78,64,149,23,446,167,341,716,22,165,316,337,152,65,62,1038,179,369,71,287,69,20,6,7,7,7,6,5,3,2
    231 : 5,4,2
    233 : 0,10,6,8,4,2
    235 : 3,6,5,3,2
    237 : 2,8,5,3,2
    239 : 0,8,9,7,6,6,7,7,7,6,5,3,2
    241 : 0,6,6,20,13,2
    243 : 5,4,2
    245 : 2,7,6,5,3,2
    247 : 2,7,6,5,3,2
    249 : 3,7,4,2
    251 : 0,10,7,6,5,3,2
    253 : 3,7,4,2
    255 : 1,9,7,4,2
    257 : 0,15
    259 : 7
    261 : 7
    263 : 0,5,16,5,13,2
    265 : 7
    267 : 7
    269 : 0,12,7
    271 : 0,10,5,13,2
    273 : 4,7
    275 : 1,6,9,11,5,3,2
    277 : 0,7,7,7,20,14,6,9,18,10,21,28,7,23,74,20,56,100,118,214,113,600,16,62,293,58,45,13,9,22,12,5,4,4,2
    279 : 1,9,8,3,2
    281 : 0,5,8,10,22,25,13,2
    283 : 0,12,5,4,4,2
    285 : 2,5,13,2
    287 : 2,5,13,2
    289 : 7
    291 : 7
    293 : 0,9,11,5,3,2
    295 : 2,6,6,7,7,7,6,5,3,2
    297 : 3,8,3,2
    299 : 1,7,6,6,12,17,7,6,5,3,2