Felix Klein, Über die Transformation der elliptischen Funktionen und die Auflösung der Gleichungen fünften Grades, Math. Ann. 14, 111-172 (1878-1879).
There is also a slightly earlier brief note in Italian, Sull' equazioni dell' Icosaedro nella risoluzione delle equazioni del quinto grado, Rendiconti Reale Istituto Lombardo, Serie 2, vol. 10, p. 253-255 (1877).
Dedekind may have gotten there first, see Dedekind or Klein