what is written below is a conjecture that I posed , and I ask for a proof or a disproof of it .I have checked the conjecture from $n$=$1$ up to $n$=$10$ using Matlab, and all results were in agreement with the conjecture . The conjecture is as follows : assume $x$ is a positive real variable that does not equal $1$ , and assume $y$ and $z$ are non-zero real variables , and consider for all $i, j \in \mathbb N$, $$a(i,j) = \frac{(x^{yi+z} + 1)^{j-1} + (x^y-1)}{x^y}$$ ; then for all $n \in \mathbb N$ , the solution set of the matrix system $[a(i,j) \mid 1 \leq i \leq n, 1 \leq j \leq (1+n)]$ exists and is unique with respect to $n$ and $x$ and $y$ and $z$ ,and each element in it is a sum of powers of $x$ with integer coefficients , and each of these powers of $x$ has the power as a linear combination of $y$ and $z$ such that the coefficients of $y$ and $z$ are non-negative integers .

###Example

For $n$=$7$, the solution set will be :

$s1$=x^yx^z + x^zx^(2y) + x^zx^(3y) + x^zx^(4y) + x^zx^(5y) + x^zx^(6y) + x^zx^(7y) + x^(3y)x^(2z) + x^(4y)x^(2z) + 2x^(5y)x^(2z) + 2x^(6y)x^(2z) + x^(6y)x^(3z) + 3x^(7y)x^(2z) + x^(7y)x^(3z) + 3x^(8y)x^(2z) + 2x^(8y)x^(3z) + 3x^(9y)x^(2z) + 3x^(9y)x^(3z) + 2x^(10y)x^(2z) + 4x^(10y)x^(3z) + 2x^(11y)x^(2z) + x^(10y)x^(4z) + 4x^(11y)x^(3z) + x^(12y)x^(2z) + x^(11y)x^(4z) + 5x^(12y)x^(3z) + x^(13y)x^(2z) + 2x^(12y)x^(4z) + 4x^(13y)x^(3z) + 3x^(13y)x^(4z) + 4x^(14y)x^(3z) + 4x^(14y)x^(4z) + 3x^(15y)x^(3z) + 4x^(15y)x^(4z) + 2x^(16y)x^(3z) + x^(15y)x^(5z) + 5x^(16y)x^(4z) + x^(17y)x^(3z) + x^(16y)x^(5z) + 4x^(17y)x^(4z) + x^(18y)x^(3z) + 2x^(17y)x^(5z) + 4x^(18y)x^(4z) + 2x^(18y)x^(5z) + 3x^(19y)x^(4z) + 3x^(19y)x^(5z) + 2x^(20y)x^(4z) + 3x^(20y)x^(5z) + x^(21y)x^(4z) + 3x^(21y)x^(5z) + x^(22y)x^(4z) + x^(21y)x^(6z) + 2x^(22y)x^(5z) + x^(22y)x^(6z) + 2x^(23y)x^(5z) + x^(23y)x^(6z) + x^(24y)x^(5z) + x^(24y)x^(6z) + x^(25y)x^(5z) + x^(25y)x^(6z) + x^(26y)x^(6z) + x^(27y)x^(6z) + x^(27*y)x^(7z) + 1

$s2$=- 6x^yx^z - 6x^zx^(2y) - 6x^zx^(3y) - 6x^zx^(4y) - 6x^zx^(5y) - 6x^zx^(6y) - 6x^zx^(7y) - 5x^(3y)x^(2z) - 5x^(4y)x^(2z) - 10x^(5y)x^(2z) - 10x^(6y)x^(2z) - 4x^(6y)x^(3z) - 15x^(7y)x^(2z) - 4x^(7y)x^(3z) - 15x^(8y)x^(2z) - 8x^(8y)x^(3z) - 15x^(9y)x^(2z) - 12x^(9y)x^(3z) - 10x^(10y)x^(2z) - 16x^(10y)x^(3z) - 10x^(11y)x^(2z) - 3x^(10y)x^(4z) - 16x^(11y)x^(3z) - 5x^(12y)x^(2z) - 3x^(11y)x^(4z) - 20x^(12y)x^(3z) - 5x^(13y)x^(2z) - 6x^(12y)x^(4z) - 16x^(13y)x^(3z) - 9x^(13y)x^(4z) - 16x^(14y)x^(3z) - 12x^(14y)x^(4z) - 12x^(15y)x^(3z) - 12x^(15y)x^(4z) - 8x^(16y)x^(3z) - 2x^(15y)x^(5z) - 15x^(16y)x^(4z) - 4x^(17y)x^(3z) - 2x^(16y)x^(5z) - 12x^(17y)x^(4z) - 4x^(18y)x^(3z) - 4x^(17y)x^(5z) - 12x^(18y)x^(4z) - 4x^(18y)x^(5z) - 9x^(19y)x^(4z) - 6x^(19y)x^(5z) - 6x^(20y)x^(4z) - 6x^(20y)x^(5z) - 3x^(21y)x^(4z) - 6x^(21y)x^(5z) - 3x^(22y)x^(4z) - x^(21y)x^(6z) - 4x^(22y)x^(5z) - x^(22y)x^(6z) - 4x^(23y)x^(5z) - x^(23y)x^(6z) - 2x^(24y)x^(5z) - x^(24y)x^(6z) - 2x^(25y)x^(5z) - x^(25y)x^(6z) - x^(26y)x^(6z) - x^(27*y)x^(6z) - 7

$s3$=15x^yx^z + 15x^zx^(2y) + 15x^zx^(3y) + 15x^zx^(4y) + 15x^zx^(5y) + 15x^zx^(6y) + 15x^zx^(7y) + 10x^(3y)x^(2z) + 10x^(4y)x^(2z) + 20x^(5y)x^(2z) + 20x^(6y)x^(2z) + 6x^(6y)x^(3z) + 30x^(7y)x^(2z) + 6x^(7y)x^(3z) + 30x^(8y)x^(2z) + 12x^(8y)x^(3z) + 30x^(9y)x^(2z) + 18x^(9y)x^(3z) + 20x^(10y)x^(2z) + 24x^(10y)x^(3z) + 20x^(11y)x^(2z) + 3x^(10y)x^(4z) + 24x^(11y)x^(3z) + 10x^(12y)x^(2z) + 3x^(11y)x^(4z) + 30x^(12y)x^(3z) + 10x^(13y)x^(2z) + 6x^(12y)x^(4z) + 24x^(13y)x^(3z) + 9x^(13y)x^(4z) + 24x^(14y)x^(3z) + 12x^(14y)x^(4z) + 18x^(15y)x^(3z) + 12x^(15y)x^(4z) + 12x^(16y)x^(3z) + x^(15y)x^(5z) + 15x^(16y)x^(4z) + 6x^(17y)x^(3z) + x^(16y)x^(5z) + 12x^(17y)x^(4z) + 6x^(18y)x^(3z) + 2x^(17y)x^(5z) + 12x^(18y)x^(4z) + 2x^(18y)x^(5z) + 9x^(19y)x^(4z) + 3x^(19y)x^(5z) + 6x^(20y)x^(4z) + 3x^(20y)x^(5z) + 3x^(21y)x^(4z) + 3x^(21y)x^(5z) + 3x^(22y)x^(4z) + 2x^(22y)x^(5z) + 2x^(23y)x^(5z) + x^(24y)x^(5z) + x^(25y)x^(5z) + 21

$s4$=- 20x^yx^z - 20x^zx^(2y) - 20x^zx^(3y) - 20x^zx^(4y) - 20x^zx^(5y) - 20x^zx^(6y) - 20x^zx^(7y) - 10x^(3y)x^(2z) - 10x^(4y)x^(2z) - 20x^(5y)x^(2z) - 20x^(6y)x^(2z) - 4x^(6y)x^(3z) - 30x^(7y)x^(2z) - 4x^(7y)x^(3z) - 30x^(8y)x^(2z) - 8x^(8y)x^(3z) - 30x^(9y)x^(2z) - 12x^(9y)x^(3z) - 20x^(10y)x^(2z) - 16x^(10y)x^(3z) - 20x^(11y)x^(2z) - x^(10y)x^(4z) - 16x^(11y)x^(3z) - 10x^(12y)x^(2z) - x^(11y)x^(4z) - 20x^(12y)x^(3z) - 10x^(13y)x^(2z) - 2x^(12y)x^(4z) - 16x^(13y)x^(3z) - 3x^(13y)x^(4z) - 16x^(14y)x^(3z) - 4x^(14y)x^(4z) - 12x^(15y)x^(3z) - 4x^(15y)x^(4z) - 8x^(16y)x^(3z) - 5x^(16y)x^(4z) - 4x^(17y)x^(3z) - 4x^(17y)x^(4z) - 4x^(18y)x^(3z) - 4x^(18y)x^(4z) - 3x^(19y)x^(4z) - 2x^(20y)x^(4z) - x^(21y)x^(4z) - x^(22y)x^(4z) - 35

$s5$=15x^yx^z + 15x^zx^(2y) + 15x^zx^(3y) + 15x^zx^(4y) + 15x^zx^(5y) + 15x^zx^(6y) + 15x^zx^(7y) + 5x^(3y)x^(2z) + 5x^(4y)x^(2z) + 10x^(5y)x^(2z) + 10x^(6y)x^(2z) + x^(6y)x^(3z) + 15x^(7y)x^(2z) + x^(7y)x^(3z) + 15x^(8y)x^(2z) + 2x^(8y)x^(3z) + 15x^(9y)x^(2z) + 3x^(9y)x^(3z) + 10x^(10y)x^(2z) + 4x^(10y)x^(3z) + 10x^(11y)x^(2z) + 4x^(11y)x^(3z) + 5x^(12y)x^(2z) + 5x^(12y)x^(3z) + 5x^(13y)x^(2z) + 4x^(13y)x^(3z) + 4x^(14y)x^(3z) + 3x^(15y)x^(3z) + 2x^(16y)x^(3z) + x^(17y)x^(3z) + x^(18y)x^(3z) + 35

$s6$=- 6x^yx^z - 6x^zx^(2y) - 6x^zx^(3y) - 6x^zx^(4y) - 6x^zx^(5y) - 6x^zx^(6y) - 6x^zx^(7y) - x^(3y)x^(2z) - x^(4y)x^(2z) - 2x^(5y)x^(2z) - 2x^(6y)x^(2z) - 3x^(7y)x^(2z) - 3x^(8y)x^(2z) - 3x^(9y)x^(2z) - 2x^(10y)x^(2z) - 2x^(11y)x^(2z) - x^(12y)x^(2z) - x^(13y)x^(2z) - 21

$s7$=x^yx^z + x^zx^(2y) + x^zx^(3y) + x^zx^(4y) + x^zx^(5y) + x^zx^(6y) + x^zx^(7*y) + 7

Thank you .