There are counterexamples for $Q=J$.
Here is a binary $6\times7$ binary matrix $M$ that belongs to an orbit of $L_J$ with period $3$:
$\begin{matrix} 1&1&1&0&0&0&0\\ 1&1&0&1&1&0&0\\ 0&0&1&1&0&1&0\\ 0&0&1&0&1&0&1\\ 1&0&0&1&0&1&1\\ 0&1&0&0&1&1&1\\ \end{matrix}$
Here is another with period $4$:
$\begin{matrix} 1&1&0&0&0&0&0\\ 1&0&1&1&0&0&0\\ 0&1&1&0&1&0&0\\ 0&1&0&1&0&1&1\\ 1&0&0&0&1&1&0\\ 0&0&0&1&1&1&0\\ \end{matrix}$
and another with period $6$:
$\begin{matrix} 1&1&1&0&0&0&0\\ 1&1&0&1&1&0&0\\ 0&0&1&1&0&1&0\\ 0&0&1&1&0&0&1\\ 1&0&0&0&0&1&1\\ 0&1&0&0&0&1&1\\ \end{matrix}$