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For $n=10$ there exists such a matrix of rank(4): $$ \begin{pmatrix} \phantom{-}4 & \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & -3 & \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & -1 & -1 \\ \phantom{-}6 & \phantom{-}1 & \phantom{-}1 & \phantom{-}0 & \phantom{-}2 & \phantom{-}0 & -1 & -1 & \phantom{-}0 & \phantom{-}0 \\ \phantom{-}8 & \phantom{-}0 & \phantom{-}3 & -3 & \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & \phantom{-}3 & \phantom{-}1 & -2 \\ -3 & -1 & \phantom{-}0 & -1 & \phantom{-}0 & -1 & \phantom{-}0 & \phantom{-}1 & \phantom{-}0 & \phantom{-}0 \\ \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & \phantom{-}1 & -1 & \phantom{-}2 & \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & \phantom{-}1 & \phantom{-}1 & \phantom{-}0 \\ -7 & -1 & -1 & \phantom{-}0 & \phantom{-}1 & -1 & \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & \phantom{-}1 \\ -3 & \phantom{-}0 & -1 & \phantom{-}1 & -2 & \phantom{-}1 & \phantom{-}1 & \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & \phantom{-}0\\ \phantom{-}3 & \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & -1 & -1 & -1 & -1 & \phantom{-}0 \\ \phantom{-}0 & -1 & \phantom{-}0 & -1 & \phantom{-}0 & -2 & -1 & \phantom{-}0 & -1 & \phantom{-}0 \\ \phantom{-}0 & -2 & \phantom{-}0 & -2 & -9 & \phantom{-}0 & \phantom{-}2 & \phantom{-}4 & -1 & -3 \end{pmatrix} $$ Hence we can improve the upper bound to $c=\log_{10}(4)=0.6021$. I found this matrix using matlab. However I did not find any solution with $n=7$ and rank 3.