This is really a followup to my comment to Joel David Hamkins's answer but it is too long for a comment. Joel asked if Sierpiński's argument uses the full strength of CH. It looks to me that it does, but here are the two key paragraphs from his paper so that you can judge for yourself. He doesn't say what $\Omega$ is but I'm assuming it's the first uncountable ordinal.
L'espace métrique $M$ étant non séparable, il existe, comme on sait, un nombre positif $d$ et une suite transfinie $\{p_\xi\}_{\xi<\Omega}$ du type $\Omega$ formée de points de $M$ tels que $\varrho(p_\xi,p_\eta)\ge d$ pour $\xi<\eta<\Omega$, $\varrho(p,q)$ désignant la distance des points $p$ et $q$ de $M$.
Or, la famille de toutes les suites infinies de nombres naturels étant de puissance du continu, il résulte de l'hypothèse $2^{\aleph_0}=\aleph_1$ qu'il existe une suite transfinie du type $\Omega$, $\{s^\xi\}_{\xi<\Omega}$, formée de toutes les suites infinies de nombres naturels. Soit (pour $\xi<\Omega$) $s^\xi$ la suite infinie de nombres naturels $n_1^\xi,n_2^\xi,n_3^\xi,\ldots$; $k$ étant un nombre naturel donné, désignons par $E_k$ l'ensemble formé de tous les points $p_\xi$, tels que $k\in \{n_1^\xi,n_2^\xi,\ldots\}$. Je dis que la suite infinie d'ensembles $E_1,E_2,E_3,\ldots$ ne contient aucune sous-suite convergente. Soit, en effet, $E_{k_1}, E_{k_2},\ldots$ où $k_1<k_2<\cdots$ une sous-suite quelconque de la suite $E_1,E_2,\ldots$ D'après la définition de la suite transfinie $\{s^\xi\}_{\xi<\Omega}$ il existe un nombre ordinal $\alpha<\Omega$, tel que $s^\alpha$ est la suite infinie $k_2, k_4, k_6, \ldots$, donc que $n_i^\alpha=k_{2i}$ pour $i=1,2,\ldots$ Vu que $k_1<k_2<k_3<\cdots$, on a donc $k_{2i}\in\{n_1^\alpha,n_2^\alpha,\ldots\}$ et $k_{2i-1} \notin \{n_1^\alpha,n_2^\alpha,\ldots\}$, donc $p_\alpha\in E_{k_{2i}}$ et $p_\alpha \notin E_{k_{2i-1}}$ pour $i=1,2,\ldots$ La sphère ouverte au centre $p_\alpha$ et au rayon $d$ (qui se réduit évidemment a un seul point $p_\alpha$) contient donc un point commun avec chacun des ensembles $E_{k_2},E_{k_4},E_{k_6},\ldots$ et ne contient aucun point des ensembles $E_{k_1},E_{k_3},E_{k_5},\ldots$ Par conséquent la suite infinie d'ensembles $E_{k_1},E_{k_2},E_{k_3},\ldots$ n'est pas convergente. La suite $E_1,E_2,\ldots$ ne contient donc aucune sous-suite convergente, c.q.f.d.
Roughly:
Since the metric space $M$ is non-separable, there exist $d > 0$ and a sequence $\{p_\xi\}_{\xi<\omega_{1}}$ of points in $M$ such that $\varrho(p_\xi,p_\eta)\ge d$ for $\xi<\eta<\omega_{1}$, where $\varrho(x,y)$ is the metric on $M$.
Using CH, list all the sequences $s^\xi, \xi < \omega_{1}$ of natural numbers, $s^\xi = \langle n_1^\xi,n_2^\xi,n_3^\xi,\ldots\rangle$; for a given $k \in \mathbb{N}$, let $E_k$ be the set of all $p_\xi$ such that $k\in \{n_1^\xi,n_2^\xi,\ldots\}$. I claim that the sequence $E_1,E_2,E_3,\ldots$ does not contain any convergent subsequence. For, if $E_{k_1}, E_{k_2},\ldots$ where $k_1<k_2<\cdots$ is an arbitrary subsequence of $E_1,E_2,\ldots$, then there exists $\alpha<\omega_{1}$, such that $s^\alpha$ is the sequence $k_2, k_4, k_6, \ldots$, and so $n_i^\alpha=k_{2i}$ for $i=1,2,\ldots$ Since $k_1<k_2<k_3<\cdots$, it follows $k_{2i}\in\{n_1^\alpha,n_2^\alpha,\ldots\}$ and $k_{2i-1} \notin \{n_1^\alpha,n_2^\alpha,\ldots\}$, so $p_\alpha\in E_{k_{2i}}$ and $p_\alpha \notin E_{k_{2i-1}}$ for $i=1,2,\ldots$ The open ball with centre $p_\alpha$ and radius $d$ (which is actually just the singleton $p_\alpha$) intersects each of $E_{k_2},E_{k_4},E_{k_6},\ldots$ non-trivially but is disjoint from $E_{k_1},E_{k_3},E_{k_5},\ldots$ Consequently, $E_{k_1},E_{k_2},E_{k_3},\ldots$ is not convergent. So the sequence $E_1,E_2,\ldots$ contains no convergent subsequence, q.e.d.
