Here are some references: Theorem 4.4 on p.40 of:
Giraud, Jean Méthode de la descente. Bull. Soc. Math. France Mém. 2 1964
which is available from Numdam. The result was rediscovered by F. Conduché,
F. Conduché, Au sujet de l'existence d'adjoints à droite aux foncteurs "image réciproque" dans la catégorie des catégories, C. R. Acad. Sci. Paris 275 (1972), A891–894.
and developed for crossed complexes in
Howie, James Pullback functors and crossed complexes. Cahiers Topologie Géom. Différentielle 20 (1979), no. 3, 281–296.
See also
Bunge, Marta; Niefield, Susan Exponentiability and single universes J. Pure Appl. Algebra 148 (2000), no. 3, 217–250.