Here is finally a solution for the $n=7$ case!
$$M=\pmatrix {1&T^{17}&T^{{32}}&T^{45}&T^{56}&T^{65}&T^{72} \\0&1&2\cdot T^{17}& T^{32}&T^{45}&T^{56} &T^{65} \\0&0&1&\color{red}{\frac98}\cdot T^{17}& \color{red}{\frac{171}{64}} \cdot T^{32}&T^{45}&T^{56} \\0&0&0&1&\color{red}{\frac98}\cdot T^{17} &T^{32}&T^{45} \\0&0&0&0&1&2\cdot T^{17}&T^{{32}} \\0&0&0&0&0&1&T^{17} \\0&0&0&0&0&0&1} $$