In Bénabou's *Les distributeurs*, in which the bicategory of profunctors is introduced, Bénabou remarks (page 17, quoted below) that $\mathbf{Prof}$ may be viewed as the construction of a bicategory from $\mathbf{Cat}$ by freely adjoining adjoints to functors. (Indeed, for every functor $F : A \to B$ between small categories, we have profunctors $F_* : A \nrightarrow B$ and $F^* : B \nrightarrow A$ given by $F_*(b, a) = B(b, Fa)$ and $F^*(a, b) = B(Fa, b)$, such that $F_* \dashv F^*$.) Is $\mathbf{Prof}$ the free bicategory with this property?

More precisely, does the inclusion $\mathbf{Cat} \to \mathbf{Prof}$ exhibit $\mathbf{Prof}$ as the free bicategory for which every 1-cell in $\mathbf{Cat}$ has a right adjoint in $\mathbf{Prof}$?

If not, how close is this statement to being true?

Le but visé en construisant Dist était d'ajouter des adjoints pour tous les foncteurs (les flèches de Cat). Ce but est atteint de la façon la plus économique possible : tout distributeur peut être représenté par un couple formé d'un foncteur et du distributeur adjoint d'un autre foncteur.

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