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Here are two families of simple unitary fusion categories of multiplicity one:

  • $Vec(C_p)$ with $C_p$ the cyclic group of order $p$ (one or prime),
  • The even part of Temperley-Lieb $A_{2n}$ with $n \ge 2$.

Note that the even part of $A_{2n+1}$ admits two simple objects of $\mathrm{FPdim}$ one, so cannot be simple.

Question: Should a simple unitary fusion category of multiplicity one be Grothendieck equivalent to one above?

A brute-force classification of simple fusion rings of rank $\le 6$ and multiplicity one provides exactly one extra of rank $5$ (it has type $[[1,1],[\alpha,3],[\beta,1]]$ with $\alpha = 1+\sqrt{2}$ and $\beta = \alpha+1$):

$$\begin{smallmatrix}1&0&0&0&0 \\ 0&1&0&0&0 \\ 0&0&1&0&0 \\ 0&0&0&1&0 \\ 0&0&0&0&1\end{smallmatrix} ,\ \begin{smallmatrix}0&1&0&0&0 \\ 1&1&1&0&0 \\ 0&1&0&0&1 \\ 0&0&0&1&1 \\ 0&0&1&1&1\end{smallmatrix} ,\ \begin{smallmatrix}0&0&1&0&0 \\ 0&1&0&0&1 \\ 1&0&1&1&0 \\ 0&0&1&0&1 \\ 0&1&0&1&1\end{smallmatrix} ,\ \begin{smallmatrix}0&0&0&1&0 \\ 0&0&0&1&1 \\ 0&0&1&0&1 \\ 1&1&0&1&0 \\ 0&1&1&0&1\end{smallmatrix} ,\ \begin{smallmatrix}0&0&0&0&1 \\ 0&0&1&1&1 \\ 0&1&0&1&1 \\ 0&1&1&0&1 \\ 1&1&1&1&1\end{smallmatrix} $$

and two extras of rank $6$ (and type $[[1,1],[\alpha,4],[\beta,1]]$ with $\alpha = \frac{3+\sqrt{13}}{2}$ and $\beta = \alpha+1$):

$$\begin{smallmatrix}1&0&0&0&0&0 \\ 0&1&0&0&0&0 \\ 0&0&1&0&0&0 \\ 0&0&0&1&0&0 \\ 0&0&0&0&1&0 \\ 0&0&0&0&0&1\end{smallmatrix} ,\ \begin{smallmatrix}0&1&0&0&0&0 \\ 1&0&1&1&1&0 \\ 0&1&1&0&0&1 \\ 0&1&0&1&0&1 \\ 0&1&0&0&1&1 \\ 0&0&1&1&1&1\end{smallmatrix} ,\ \begin{smallmatrix}0&0&1&0&0&0 \\ 0&1&1&0&0&1 \\ 1&1&0&1&1&0 \\ 0&0&1&1&0&1 \\ 0&0&1&0&1&1 \\ 0&1&0&1&1&1\end{smallmatrix} ,\ \begin{smallmatrix}0&0&0&1&0&0 \\ 0&1&0&1&0&1 \\ 0&0&1&1&0&1 \\ 1&1&1&0&1&0 \\ 0&0&0&1&1&1 \\ 0&1&1&0&1&1\end{smallmatrix} ,\ \begin{smallmatrix}0&0&0&0&1&0 \\ 0&1&0&0&1&1 \\ 0&0&1&0&1&1 \\ 0&0&0&1&1&1 \\ 1&1&1&1&0&0 \\ 0&1&1&1&0&1\end{smallmatrix} ,\ \begin{smallmatrix}0&0&0&0&0&1 \\ 0&0&1&1&1&1 \\ 0&1&0&1&1&1 \\ 0&1&1&0&1&1 \\ 0&1&1&1&0&1 \\ 1&1&1&1&1&1\end{smallmatrix}$$

$$\begin{smallmatrix}1&0&0&0&0&0 \\ 0&1&0&0&0&0 \\ 0&0&1&0&0&0 \\ 0&0&0&1&0&0 \\ 0&0&0&0&1&0 \\ 0&0&0&0&0&1\end{smallmatrix} ,\ \begin{smallmatrix}0&1&0&0&0&0 \\ 1&1&1&0&1&0 \\ 0&1&0&1&0&1 \\ 0&0&1&1&0&1 \\ 0&1&0&0&1&1 \\ 0&0&1&1&1&1\end{smallmatrix} ,\ \begin{smallmatrix}0&0&1&0&0&0 \\ 0&1&0&1&0&1 \\ 1&0&1&1&1&0 \\ 0&1&1&0&0&1 \\ 0&0&1&0&1&1 \\ 0&1&0&1&1&1\end{smallmatrix} ,\ \begin{smallmatrix}0&0&0&1&0&0 \\ 0&0&1&1&0&1 \\ 0&1&1&0&0&1 \\ 1&1&0&1&1&0 \\ 0&0&0&1&1&1 \\ 0&1&1&0&1&1\end{smallmatrix} ,\ \begin{smallmatrix}0&0&0&0&1&0 \\ 0&1&0&0&1&1 \\ 0&0&1&0&1&1 \\ 0&0&0&1&1&1 \\ 1&1&1&1&0&0 \\ 0&1&1&1&0&1\end{smallmatrix} ,\ \begin{smallmatrix}0&0&0&0&0&1 \\ 0&0&1&1&1&1 \\ 0&1&0&1&1&1 \\ 0&1&1&0&1&1 \\ 0&1&1&1&0&1 \\ 1&1&1&1&1&1\end{smallmatrix}$$

But they can be ruled out from unitary categorification by computing their character table and applying the commutative Schur product criterion (here, Corollary 7.5).


Multiplicity one: the fusion coefficients $n_{i,j}^k$ are in $\{0,1\}$.
Grothendieck equivalent: the Grothendieck (fusion) rings are equivalent.

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