The simple unitary fusion categories of multiplicity one

Here are two families of simple unitary fusion categories of multiplicity one:

• $$Vec(C_p)$$ with $$C_p$$ the cyclic group of order $$p$$ (one or prime),
• The even part of Temperley-Lieb $$A_{2n}$$ with $$n \ge 2$$.

Note that the even part of $$A_{2n+1}$$ admits two simple objects of $$\mathrm{FPdim}$$ one, so cannot be simple.

Question: Should a simple unitary fusion category of multiplicity one be Grothendieck equivalent to one above?

A brute-force classification of simple fusion rings of rank $$\le 6$$ and multiplicity one provides exactly one extra of rank $$5$$ (it has type $$[[1,1],[\alpha,3],[\beta,1]]$$ with $$\alpha = 1+\sqrt{2}$$ and $$\beta = \alpha+1$$):

$$\begin{smallmatrix}1&0&0&0&0 \\ 0&1&0&0&0 \\ 0&0&1&0&0 \\ 0&0&0&1&0 \\ 0&0&0&0&1\end{smallmatrix} ,\ \begin{smallmatrix}0&1&0&0&0 \\ 1&1&1&0&0 \\ 0&1&0&0&1 \\ 0&0&0&1&1 \\ 0&0&1&1&1\end{smallmatrix} ,\ \begin{smallmatrix}0&0&1&0&0 \\ 0&1&0&0&1 \\ 1&0&1&1&0 \\ 0&0&1&0&1 \\ 0&1&0&1&1\end{smallmatrix} ,\ \begin{smallmatrix}0&0&0&1&0 \\ 0&0&0&1&1 \\ 0&0&1&0&1 \\ 1&1&0&1&0 \\ 0&1&1&0&1\end{smallmatrix} ,\ \begin{smallmatrix}0&0&0&0&1 \\ 0&0&1&1&1 \\ 0&1&0&1&1 \\ 0&1&1&0&1 \\ 1&1&1&1&1\end{smallmatrix}$$

and two extras of rank $$6$$ (and type $$[[1,1],[\alpha,4],[\beta,1]]$$ with $$\alpha = \frac{3+\sqrt{13}}{2}$$ and $$\beta = \alpha+1$$):

$$\begin{smallmatrix}1&0&0&0&0&0 \\ 0&1&0&0&0&0 \\ 0&0&1&0&0&0 \\ 0&0&0&1&0&0 \\ 0&0&0&0&1&0 \\ 0&0&0&0&0&1\end{smallmatrix} ,\ \begin{smallmatrix}0&1&0&0&0&0 \\ 1&0&1&1&1&0 \\ 0&1&1&0&0&1 \\ 0&1&0&1&0&1 \\ 0&1&0&0&1&1 \\ 0&0&1&1&1&1\end{smallmatrix} ,\ \begin{smallmatrix}0&0&1&0&0&0 \\ 0&1&1&0&0&1 \\ 1&1&0&1&1&0 \\ 0&0&1&1&0&1 \\ 0&0&1&0&1&1 \\ 0&1&0&1&1&1\end{smallmatrix} ,\ \begin{smallmatrix}0&0&0&1&0&0 \\ 0&1&0&1&0&1 \\ 0&0&1&1&0&1 \\ 1&1&1&0&1&0 \\ 0&0&0&1&1&1 \\ 0&1&1&0&1&1\end{smallmatrix} ,\ \begin{smallmatrix}0&0&0&0&1&0 \\ 0&1&0&0&1&1 \\ 0&0&1&0&1&1 \\ 0&0&0&1&1&1 \\ 1&1&1&1&0&0 \\ 0&1&1&1&0&1\end{smallmatrix} ,\ \begin{smallmatrix}0&0&0&0&0&1 \\ 0&0&1&1&1&1 \\ 0&1&0&1&1&1 \\ 0&1&1&0&1&1 \\ 0&1&1&1&0&1 \\ 1&1&1&1&1&1\end{smallmatrix}$$

$$\begin{smallmatrix}1&0&0&0&0&0 \\ 0&1&0&0&0&0 \\ 0&0&1&0&0&0 \\ 0&0&0&1&0&0 \\ 0&0&0&0&1&0 \\ 0&0&0&0&0&1\end{smallmatrix} ,\ \begin{smallmatrix}0&1&0&0&0&0 \\ 1&1&1&0&1&0 \\ 0&1&0&1&0&1 \\ 0&0&1&1&0&1 \\ 0&1&0&0&1&1 \\ 0&0&1&1&1&1\end{smallmatrix} ,\ \begin{smallmatrix}0&0&1&0&0&0 \\ 0&1&0&1&0&1 \\ 1&0&1&1&1&0 \\ 0&1&1&0&0&1 \\ 0&0&1&0&1&1 \\ 0&1&0&1&1&1\end{smallmatrix} ,\ \begin{smallmatrix}0&0&0&1&0&0 \\ 0&0&1&1&0&1 \\ 0&1&1&0&0&1 \\ 1&1&0&1&1&0 \\ 0&0&0&1&1&1 \\ 0&1&1&0&1&1\end{smallmatrix} ,\ \begin{smallmatrix}0&0&0&0&1&0 \\ 0&1&0&0&1&1 \\ 0&0&1&0&1&1 \\ 0&0&0&1&1&1 \\ 1&1&1&1&0&0 \\ 0&1&1&1&0&1\end{smallmatrix} ,\ \begin{smallmatrix}0&0&0&0&0&1 \\ 0&0&1&1&1&1 \\ 0&1&0&1&1&1 \\ 0&1&1&0&1&1 \\ 0&1&1&1&0&1 \\ 1&1&1&1&1&1\end{smallmatrix}$$

But they can be ruled out from unitary categorification by computing their character table and applying the commutative Schur product criterion (here, Corollary 7.5).

Multiplicity one: the fusion coefficients $$n_{i,j}^k$$ are in $$\{0,1\}$$.
Grothendieck equivalent: the Grothendieck (fusion) rings are equivalent.