In [SGA6] we find:

Mais nous lui conseillons néanmoins, de préférence, de s'assimiler le langage des topos, qui fournit un principe d'unification extrêmement commode. (DeepL translate: However, we nevertheless advise him, preferably, to assimilate the language of toposes, which provides an extremely convenient principle of unification.)

Lets motivate this advice following some examples of topos that are not “ordinary” spaces:

Comme autres exemples remarquables de topos qui ne sont pas des espaces ordinaires, et pour lesquels il ne semble pas y avoir non plus de substitut satisfaisant en termes des notions "admises", je signalerai : les topos quotients d’un espace topologique par une relation d’équivalence locale (par exemple des feuilletages de variétés, auquel cas le topos quotient est même une "multiplicité" i.e. est localement une variété) ; les topos "classifiants" pour à peu près n’importe quelle espèce de structure mathématique (tout au moins celles "s’exprimant en termes de limites projectives finies et de limites inductives quelconques"). Quand on prend une structure de "variété" (topologique, différentiable, analytique réelle ou complexe, de Nash, etc. . . ou même schématique lisse sur une base donnée) on trouve dans chaque cas un topos particulièrement alléchant, qui mérite le nom de "variété universelle" (de l’espèce envisagée). Ses invariants homotopiques (et notamment sa cohomologie, qui mérite le nom de "cohomologie classifiante" pour l’espèce de variété envisagée) devraient être étudiés et connus depuis longtemps, mais pour le moment ça n’en prend nullement le chemin... [ReS]

DeepL translation:

As other remarkable examples of topos that are not ordinary spaces, and for which there also seems to be no satisfactory substitute in terms of "accepted" notions, I would point out: the topos quotients of a topological space by a local equivalence relation (e.g. foliations of manifolds, in which case the topos quotient is even a "multiplicity" i. e. is locally a manifold); "classifying" topos for almost any species of mathematical structure (at least those "expressed in terms of finite projective limits and any inductive limits"). When we take a "manifold" structure (topological, differentiable, real or complex analytical, Nash, etc. . . or even smooth schematic on a given base) we find in each case a particularly attractive topos, which deserves the name of "universal variety" (of the species considered). Its homotopic invariants (and in particular its cohomology, which deserves the name of "classifying cohomology" for the species of variety considered) should have been studied and known for a long time, but for the moment it does not take any way...

**What are some other examples of topoi that are not “ordinary” spaces?**

[ReS] Récoltes et Semailles, A Grothendieck

[SGA6] SGA6 Théorie des intersections et théorème de Riemann-Roch, 1966–1967. Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie doi:10.1007/BFb0066283