Iterating $\mathsf L_Q$ over an initial matrix shall always yield a periodic sequence at some point because there is only finitely many possible matrices, but the period is not necessarily $q$ or a multiple or divisor of $q$.

Here is an example where the period is $4$ while $q=3$. It is a modification of yours where now $Q$ permutes the 3 first columns.

$Q=
\;\;\begin{matrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\1&0&0&0\\0&0&0&1\end{matrix}\;\; $
and
$\;M=
\;\;\begin{matrix}0&0&1&1\\1&0&0&1\\0&1&1&0\\1&1&1&0\end{matrix}\;\;$

$ $

$ \xrightarrow{\mathsf R}
\;\;\begin{matrix}0&0&1&1\\0&1&1&0\\1&0&0&1\\1&1&1&0\end{matrix}\;\; \xrightarrow{\mathsf C}
\;\;\begin{matrix}0&0&1&1\\0&1&0&1\\1&0&1&0\\1&1&0&1\end{matrix}\;\; \xrightarrow{\mathsf Q} \color{red}{
\;\;\begin{matrix}1&0&0&1\\0&0&1&1\\1&1&0&0\\0&1&1&1\end{matrix}\;\; }
$

$ $

$ \xrightarrow{\mathsf R}
\;\;\begin{matrix}0&0&1&1\\0&1&1&1\\1&0&0&1\\1&1&0&0\end{matrix}\;\; \xrightarrow{\mathsf C}
\;\;\begin{matrix}0&0&1&1\\0&1&1&1\\1&0&0&1\\1&1&0&0\end{matrix}\;\; \xrightarrow{\mathsf Q}
\;\;\begin{matrix}1&0&0&1\\1&0&1&1\\0&1&0&1\\0&1&1&0\end{matrix}\;\;
$

$ $

$ \xrightarrow{\mathsf R}
\;\;\begin{matrix}0&1&0&1\\0&1&1&0\\1&0&0&1\\1&0&1&1\end{matrix}\;\; \xrightarrow{\mathsf C}
\;\;\begin{matrix}0&0&1&1\\0&1&0&1\\1&0&1&0\\1&1&1&0\end{matrix}\;\; \xrightarrow{\mathsf Q}
\;\;\begin{matrix}1&0&0&1\\0&0&1&1\\1&1&0&0\\1&1&1&0\end{matrix}\;\;
$

$ $

$ \xrightarrow{\mathsf R}
\;\;\begin{matrix}0&0&1&1\\1&0&0&1\\1&1&0&0\\1&1&1&0\end{matrix}\;\; \xrightarrow{\mathsf C}
\;\;\begin{matrix}0&0&1&1\\0&1&0&1\\1&1&0&0\\1&1&1&0\end{matrix}\;\; \xrightarrow{\mathsf Q}
\;\;\begin{matrix}1&0&0&1\\0&0&1&1\\0&1&1&0\\1&1&1&0\end{matrix}\;\;
$

$ $

$ \xrightarrow{\mathsf R}
\;\;\begin{matrix}0&0&1&1\\0&1&1&0\\1&0&0&1\\1&1&1&0\end{matrix}\;\; \xrightarrow{\mathsf C}
\;\;\begin{matrix}0&0&1&1\\0&1&0&1\\1&0&1&0\\1&1&0&1\end{matrix}\;\; \xrightarrow{\mathsf Q} \color{red}{
\;\;\begin{matrix}1&0&0&1\\0&0&1&1\\1&1&0&0\\0&1&1&1\end{matrix}\;\; }
$