Given $\mathrm A \in \mathbb R^{m \times n}$ and $\mathrm B \in \mathbb R^{n \times p}$, let $\mathrm B \mathrm B^{\top} = \mathrm Q \Lambda \mathrm Q^{\top}$ be an eigendecomposition of $\mathrm B \mathrm B^{\top}$. Hence,

$$\begin{array}{rl} \| \mathrm A \mathrm B \|_{\text{F}}^2 &= \mbox{tr} (\mathrm A \mathrm B \mathrm B^{\top} \mathrm A^{\top})\\ &= \mbox{tr} (\mathrm A \mathrm Q \Lambda \mathrm Q^{\top} \mathrm A^{\top})\\ &= \mbox{tr} (\mathrm A \mathrm Q \Lambda (\mathrm A \mathrm Q)^{\top})\\ &\geq \lambda_{\min} (\mathrm B \mathrm B^{\top}) \, \mbox{tr} (\mathrm A \mathrm Q \mathrm Q^{\top} \mathrm A^{\top})\\ &= \lambda_{\min} (\mathrm B \mathrm B^{\top}) \, \mbox{tr} (\mathrm A \mathrm A^{\top})\\ &= \lambda_{\min} (\mathrm B \mathrm B^{\top}) \, \| \mathrm A \|_{\text{F}}^2\end{array}$$

Thus,

$$\| \mathrm A \mathrm B \|_{\text{F}} \geq \sqrt{\lambda_{\min} (\mathrm B \mathrm B^{\top})} \, \| \mathrm A \|_{\text{F}}$$

If $\mathrm B$ has **full row rank**, then $\sqrt{\lambda_{\min} (\mathrm B \mathrm B^{\top})} > 0$. Note that $\mathrm B$ can only have full row rank if it is square or fat. Thus, $p \geq n$ is necessary (though not sufficient).

### Addendum

Given $\mathrm V \in \mathbb R^{m \times n}$ and $\Lambda := \mbox{diag} (\lambda_1, \dots, \lambda_n) \in \mathbb R^{n \times n}$, note that

$$\mbox{tr} (\mathrm V \Lambda \mathrm V^{\top}) = \mbox{tr} \left( \sum_{i=1}^n \lambda_i \mathrm v_i \mathrm v_i^{\top} \right) = \sum_{i=1}^n \lambda_i \| \mathrm v_i \|_2^2 \geq \min\{\lambda_1, \dots, \lambda_n\} \underbrace{\sum_{i=1}^n \| \mathrm v_i \|_2^2}_{= \| \mathrm V \|_{\text{F}}^2}$$