[Une traduction française suit la version anglaise.]

The question is only about elliptic curves $E$ over $\mathbb{Q}$ and concerns only the aspect

(order of vanishing of $L(E,s)$ at $s=1$)$\ =\ $(rank of $E(\mathbb{Q})$).

Let $r$ be the LHS and $d$ the RHS, so that (a special case of ) the Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture is

**BSD?.** $r=d$.

By the end of the last millenium, we knew

**Theorem** (1977--2000). *If* $\ r=0,1$, *then* $d=r$ (*and* $\ \operatorname{Sha}(E)$ *is finite*).

Some years ago, I heard that there was some progress in proving $(r>0)\Longrightarrow (d>0)$ under the assumption of the finiteness of $\operatorname{Sha}(E)$. What is the current status of the

**Statement.** *Suppose that* $\operatorname{Sha}(E)$ *is finite. If* $r>1$, *then* $d>0$ ?

*L'état actuel de la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer*

On s'interesse uniquement aux courbes abéliennes $A$ sur $\mathbf{Q}$ et à l'aspect

(ordre d'annulation de $L(A,s)$ en $s=1$)$\ =\ $(rang de $A(\mathbf{Q})$).

Désignons par $r$ le membre de gauche et par $d$ le membre de droite, de sorte que la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer prédit (en particulier)

**BSD?** $r=d$.

Vers la fin du millénaire dernier, on avait démontré le

**Théorème** (1977--2000). *Si* $r=0,1$, *alors* $d=r$ (*et* $\ \operatorname{Cha}(A)$ *est fini*).

Il y a quelques années, j'avais entendu dire qu'on a fait des progrès concernant l'implication $(r>0)\Longrightarrow(d>0)$ sous l'hypothèse de la finitude de Cha$(A)$. Quel est l'état actuel de l'

**Énoncé.** *Supposons que* $\operatorname{Cha}(A)$ *est fini*. *Si* $r>1$, *alors*
$d>0$ ?

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