According to these pages, the earliest known appearance of the term pole was in "Théorie des fonctions elliptiques" (1875, p. 15) by Briot and Bouquet:

Lorsqu'une fonction $u$ est holomorphe dans une certaine partie du plan, excepté en un point $z_1$, où elle devient infinie, de manière toutefois que la fonction $\frac{1}{u}$ reste holomorphe dans le voisinage de ce point, on dit que ce point est un pôle ou un infini de la fonction $u$.

By the way, in their first memoir on the subject, "Étude des fonctions d'une variable imaginaire" (1856), Briot and Bouquet refer to a pole of a function only as un infini du degré fini.

According to these pages, the earliest known appearance of the term pole might be in "Théorie des fonctions elliptiques" (1875, p. 15) by Briot and Bouquet:

Lorsqu'une fonction $u$ est holomorphe dans une certaine partie du plan, excepté en un point $z_1$, où elle devient infinie, de manière toutefois que la fonction $\frac{1}{u}$ reste holomorphe dans le voisinage de ce point, on dit que ce point est un pôle ou un infini de la fonction $u$.

They don't provide any motivation for this choice of a term though.

By the way, in their first memoir on the subject, "Étude des fonctions d'une variable imaginaire" (1856), Briot and Bouquet refer to a pole of a function only as un infini du degré fini.