In his 1951 report Sur la théorie du corps de classes, Weil writes that

La recherche d'une interprétation de $C_k$ si $k$ est un corps de nombres, analogue en quelque manière à l'interprétation par un groupe de Galois quand $k$ est un corps de fonctions, me semble constituer l'un des problèmes fondamentaux de la théorie des nombres à l'heure actuelle; il se peut qu'une telle interprétation renferme la clef de l'hypothèse de Riemann...

Here, $C_k$ is of course the idèle class group of the number field $k$.

I've heard that some people working in noncommutative geometry have thought about this problem.

Question. What progress has since been made towards such an interpretation?

In his 1951 report Sur la théorie du corps de classes, Weil writes that

La recherche d'une interprétation de $C_k$ si $k$ est un corps de nombres, analogue en quelque manière à l'interprétation par un groupe de Galois quand $k$ est un corps de fonctions, me semble constituer l'un des problèmes fondamentaux de la théorie des nombres à l'heure actuelle; il se peut qu'une telle interprétation renferme la clef de l'hypothèse de Riemann ….

As requested by @PeteL.Clark, a translation (by @TonyScholl):

The search for an interpretation for $C_k$, where $k$ is a number field—in some way analogous to its interpretation by a Galois group when $k$ is a function field—seems to me to be one of the fundamental problems of number theory today; perhaps such an interpretation contains the key to the Riemann hypothesis ….

Here, $C_k$ is of course the idèle class group of the number field $k$.

I've heard that some people working in noncommutative geometry have thought about this problem.

Question. What progress has since been made towards such an interpretation?

In his 1951 report Sur la théorie du corps de classes, Weil writes that

La recherche d'une interprétation de $C_k$ si $k$ est un corps de nombres, analogue en quelque manière à l'interprétation par un groupe de Galois quand $k$ est un corps de fonctions, me semble constituer l'un des problèmes fondamentaux de la théorie des nombres à l'heure actuelle; il se peut qu'une telle interprétation renferme la clef de l'hypothèse de Riemann...

Here, $C_k$ is of course the idèle class group of the number field $k$.

I've heard that some people working in noncommutative geomtry have thought about this problem.

Question. What progress has since been made towards such an interpretation?

In his 1951 report Sur la théorie du corps de classes, Weil writes that

La recherche d'une interprétation de $C_k$ si $k$ est un corps de nombres, analogue en quelque manière à l'interprétation par un groupe de Galois quand $k$ est un corps de fonctions, me semble constituer l'un des problèmes fondamentaux de la théorie des nombres à l'heure actuelle; il se peut qu'une telle interprétation renferme la clef de l'hypothèse de Riemann...

Here, $C_k$ is of course the idèle class group of the number field $k$.

I've heard that some people working in noncommutative geometry have thought about this problem.

Question. What progress has since been made towards such an interpretation?