In "Toward a Galoisian interpretation of homotopy theory" B. Toen wrote:

Pour expliquer notre point de vue sur la notion de champs rappelons une construction (non conventionnelle) du topos de l’espace $X$ (i.e. d’une catégorie qui est naturellement équivalente à la catégorie des faisceaux sur X) qui n’utilise pas directement la notion de faisceaux. Pour cela, soit $Pr(X)$ la catégorie des préfaisceaux d’ensembles sur l’espace topologique $X$. Dans cette catégorie on considère l’ensemble $W$ des morphismes qui induisent des isomorphismes fibre à fibre, et on forme la catégorie $W^{−1}Pr(X)$, obtenue à partir de $Pr(X)$ en inversant formellement les morphismes de $W$. On peut alors vérifier que $W^{−1}Pr(X)$ est naturellement ́equivalente à la catégorie des faisceaux sur $X$. Il faut remarquer que les objets de $W^{−1}Pr(X)$ sont les préfaisceaux sur $X$, mais ses ensembles de morphismes sont en réalité isomorphes aux ensembles de morphismes entre faisceaux associés. Aussi surprenant que cela puisse paraître, cette construction montre qu’il n’est pas nécessaire de connaître la notion de faisceaux pour pouvoir parler de la catégorie des faisceaux sur $X$.

I would like to know if this is the first apparition of this non-conventional definition of topos.

and

Can the $X$ be a general site?

In "Toward a Galoisian interpretation of homotopy theory" (2000), B. Toën wrote:

Pour expliquer notre point de vue sur la notion de champs rappelons une construction (non conventionnelle) du topos de l’espace $X$ (i.e. d’une catégorie qui est naturellement équivalente à la catégorie des faisceaux sur X) qui n’utilise pas directement la notion de faisceaux. Pour cela, soit $Pr(X)$ la catégorie des préfaisceaux d’ensembles sur l’espace topologique $X$. Dans cette catégorie on considère l’ensemble $W$ des morphismes qui induisent des isomorphismes fibre à fibre, et on forme la catégorie $W^{−1}Pr(X)$, obtenue à partir de $Pr(X)$ en inversant formellement les morphismes de $W$. On peut alors vérifier que $W^{−1}Pr(X)$ est naturellement ́equivalente à la catégorie des faisceaux sur $X$. Il faut remarquer que les objets de $W^{−1}Pr(X)$ sont les préfaisceaux sur $X$, mais ses ensembles de morphismes sont en réalité isomorphes aux ensembles de morphismes entre faisceaux associés. Aussi surprenant que cela puisse paraître, cette construction montre qu’il n’est pas nécessaire de connaître la notion de faisceaux pour pouvoir parler de la catégorie des faisceaux sur $X$.

I would like to know if this is the first apparition of this non-conventional definition of topos.

and

Can $X$ be a general site?