The geometric shape in question is a compound of two polytopes: an 11-hypercube with edge length $2$ and an 11-simplex with edge length $\sqrt3$ whose vertices are a subset of the hypercube’s. What is the structure of this shape’s symmetry group?

Edit: proof that it’s possible: https://www.math.uchicago.edu/~may/VIGRE/VIGRE2011/REUPapers/Markov.pdf

And explicit coordinates:

(–1,–1,–1,–1,–1,–1,–1,–1,–1,–1,–1) (1,–1,1,–1,–1,–1,1,1,1,–1,1) (1,1,–1,1,–1,–1,–1,1,1,1,–1) (–1,1,1,–1,1,–1,–1,–1,1,1,1) (1,–1,1,1,–1,1,–1,–1,–1,1,1) (1,1,–1,1,1,–1,1,–1,–1,–1,1) (1,1,1,–1,1,1,–1,1,–1,–1,–1) (–1,1,1,1,–1,1,1,–1,1,–1,–1) (–1,–1,1,1,1,–1,1,1,–1,1,–1) (–1,–1,–1,1,1,1,–1,1,1,–1,1) (1,–1,–1,–1,1,1,1,–1,1,1,–1) (–1,1,–1,–1,–1,1,1,1,–1,1,1)

The geometric shape in question is a compound of two polytopes: an 11-hypercube with edge length $2$ and an 11-simplex with edge length $\sqrt6$ whose vertices are a subset of the hypercube’s. What is the structure of this shape’s symmetry group?

Edit: proof that it’s possible: https://www.math.uchicago.edu/~may/VIGRE/VIGRE2011/REUPapers/Markov.pdf

And explicit coordinates:

(–1,–1,–1,–1,–1,–1,–1,–1,–1,–1,–1) (1,–1,1,–1,–1,–1,1,1,1,–1,1) (1,1,–1,1,–1,–1,–1,1,1,1,–1) (–1,1,1,–1,1,–1,–1,–1,1,1,1) (1,–1,1,1,–1,1,–1,–1,–1,1,1) (1,1,–1,1,1,–1,1,–1,–1,–1,1) (1,1,1,–1,1,1,–1,1,–1,–1,–1) (–1,1,1,1,–1,1,1,–1,1,–1,–1) (–1,–1,1,1,1,–1,1,1,–1,1,–1) (–1,–1,–1,1,1,1,–1,1,1,–1,1) (1,–1,–1,–1,1,1,1,–1,1,1,–1) (–1,1,–1,–1,–1,1,1,1,–1,1,1)

The geometric shape in question is a compound of two polytopes: an 11-hypercube with edge length $1$ and an 11-simplex with edge length $\sqrt3$ whose vertices are a subset of the hypercube’s. What is the structure of this shape’s symmetry group?

Edit: proof that it’s possible: https://www.math.uchicago.edu/~may/VIGRE/VIGRE2011/REUPapers/Markov.pdf

And explicit coordinates:

(–1,–1,–1,–1,–1,–1,–1,–1,–1,–1,–1) (1,–1,1,–1,–1,–1,1,1,1,–1,1) (1,1,–1,1,–1,–1,–1,1,1,1,–1) (–1,1,1,–1,1,–1,–1,–1,1,1,1) (1,–1,1,1,–1,1,–1,–1,–1,1,1) (1,1,–1,1,1,–1,1,–1,–1,–1,1) (1,1,1,–1,1,1,–1,1,–1,–1,–1) (–1,1,1,1,–1,1,1,–1,1,–1,–1) (–1,–1,1,1,1,–1,1,1,–1,1,–1) (–1,–1,–1,1,1,1,–1,1,1,–1,1) (1,–1,–1,–1,1,1,1,–1,1,1,–1) (–1,1,–1,–1,–1,1,1,1,–1,1,1)

The geometric shape in question is a compound of two polytopes: an 11-hypercube with edge length $2$ and an 11-simplex with edge length $\sqrt3$ whose vertices are a subset of the hypercube’s. What is the structure of this shape’s symmetry group?

Edit: proof that it’s possible: https://www.math.uchicago.edu/~may/VIGRE/VIGRE2011/REUPapers/Markov.pdf

And explicit coordinates:

(–1,–1,–1,–1,–1,–1,–1,–1,–1,–1,–1) (1,–1,1,–1,–1,–1,1,1,1,–1,1) (1,1,–1,1,–1,–1,–1,1,1,1,–1) (–1,1,1,–1,1,–1,–1,–1,1,1,1) (1,–1,1,1,–1,1,–1,–1,–1,1,1) (1,1,–1,1,1,–1,1,–1,–1,–1,1) (1,1,1,–1,1,1,–1,1,–1,–1,–1) (–1,1,1,1,–1,1,1,–1,1,–1,–1) (–1,–1,1,1,1,–1,1,1,–1,1,–1) (–1,–1,–1,1,1,1,–1,1,1,–1,1) (1,–1,–1,–1,1,1,1,–1,1,1,–1) (–1,1,–1,–1,–1,1,1,1,–1,1,1)