The Desargues graph does have cycles of length 8 though, doesn't it?
But here's a nice 38-vertex bipartite cubic vertex-transitive graph with no 4 or 8 cycles:
Graph 1, order 38. 0 : 1 2 3; 1 : 0 4 7; 2 : 0 6 9; 3 : 0 5 8; 4 : 1 10 13; 5 : 3 11 15; 6 : 2 12 14; 7 : 1 11 16; 8 : 3 12 18; 9 : 2 10 17; 10 : 4 9 28; 11 : 5 7 26; 12 : 6 8 27; 13 : 4 32 35; 14 : 6 34 37; 15 : 5 33 36; 16 : 7 29 35; 17 : 9 31 37; 18 : 8 30 36; 19 : 29 30 31; 20 : 27 32 34; 21 : 28 32 33; 22 : 26 33 34; 23 : 27 30 35; 24 : 28 31 36; 25 : 26 29 37; 26 : 11 22 25; 27 : 12 20 23; 28 : 10 21 24; 29 : 16 19 25; 30 : 18 19 23; 31 : 17 19 24; 32 : 13 20 21; 33 : 15 21 22; 34 : 14 20 22; 35 : 13 16 23; 36 : 15 18 24; 37 : 14 17 25;