How about $x+\sqrt[3]2 y+\sqrt[3]4 z$, $x+\omega\sqrt[3]2 y+\omega^2\sqrt[3]4 z$ and $x+\omega^2\sqrt[3]2 y+\omega\sqrt[3]4 z$ where $\omega=\exp(2\pi i/3)$?

How about $x+2\cos(2\pi/7)y+4\cos^2(2\pi/7)z$, $x+2\cos(4\pi/7)y+4\cos^2(4\pi/7)z$, $x+2\cos(6\pi/7)y+4\cos^2(6\pi/7)z$ ?