The first formula is trivial. $$f(s)= \frac1{s-1}+\gamma +O(s-1)$$ $$g(z)=1+2^{-z}+3^{-z}+4^{-z}+O(5^{-z})=1+2^{-z}(1+(3/2)^{-z}+(4/2)^{-z}+O(5/2)^{-z})$$
$$f(g(z)) = \frac1{2^{-z}(1+(3/2)^{-z}+(4/2)^{-z}+O(5/2)^{-z})}+\gamma+O(2^{-z})$$ $$=2^z \left(1+(3/2)^{-z}+(4/2)^{-z}+O(5/2)^{-z}+(O(3/2)^{-z})^2\right)+\gamma + O(2^{-z})$$$$=2^z \left(1-(3/2)^{-z}-(4/2)^{-z}+O(5/2)^{-z}+(O(3/2)^{-z})^2\right)+\gamma + O(2^{-z})$$
$$=2^z+ (3/4)^{-z}+1+O(9/8)^{-z}+\gamma$$$$=2^z- (3/4)^{-z}-1+O(9/8)^{-z}+\gamma$$