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If $3 \not \in S$ then the answer to Question($S$) is yes.

There are integral commutative fusion rings which are not of Frobenius type.

Examples:

• Non-simple: rank $4$, FPdim $15$, type $[1,1,2,3]$, and fusion rules:

$$ \begin{smallmatrix} 1&0&0&0 \\ 0&1&0&0 \\ 0&0&1&0 \\ 0&0&0&1 \end{smallmatrix} , \ \begin{smallmatrix} 0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1 \end{smallmatrix} , \ \begin{smallmatrix} 0&0&1&0\\0&0&1&0\\1&1&1&0\\0&0&0&2 \end{smallmatrix} , \ \begin{smallmatrix} 0&0&0&1\\0&0&0&1\\0&0&0&2\\1&1&2&1 \end{smallmatrix} $$

• Simple: rank $6$, FPdim $143$, type $[1,4,4,5,6,7]$, and fusion rules:

$$ \begin{smallmatrix}1&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0\\0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&1\end{smallmatrix} , \ \begin{smallmatrix}0&1&0&0&0&0\\1&0&1&1&1&0\\0&1&0&1&0&1\\0&1&1&1&0&1\\0&1&0&0&1&2\\0&0&1&1&2&1\end{smallmatrix} , \ \begin{smallmatrix}0&0&1&0&0&0\\0&1&0&1&0&1\\1&0&2&0&0&1\\0&1&0&2&1&0\\0&0&0&1&2&1\\0&1&1&0&1&2\end{smallmatrix} , \ \begin{smallmatrix}0&0&0&1&0&0\\0&1&1&1&0&1\\0&1&0&2&1&0\\1&1&2&1&0&1\\0&0&1&0&2&2\\0&1&0&1&2&2\end{smallmatrix} , \ \begin{smallmatrix}0&0&0&0&1&0\\0&1&0&0&1&2\\0&0&0&1&2&1\\0&0&1&0&2&2\\1&1&2&2&1&1\\0&2&1&2&1&2\end{smallmatrix} , \ \begin{smallmatrix}0&0&0&0&0&1\\0&0&1&1&2&1\\0&1&1&0&1&2\\0&1&0&1&2&2\\0&2&1&2&1&2\\1&1&2&2&2&2\end{smallmatrix} $$

Note that $15= 3 \times 5$ and $143 = 11 \times 13$. They admit no categorification because by MR2098028, any fusion category of Frobenius-Perron dimension $pq$ (with $p,q$ different odd primes) is group-theoretical, whereas by MR2735754, a (weakly) group theoretical fusion category is of Frobenius type.

Now, four new simple integral (commutative) fusion rings not of Frobenius type and on which a unitary categorification cannot be excluded according to my current knowledge:

• rank $6$, FPdim $924 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 11$, type $[1,7,8,12,15,21]$ and fusion rules:

$$\begin{smallmatrix}1&0&0&0&0&0 \\ 0&1&0&0&0&0 \\ 0&0&1&0&0&0 \\ 0&0&0&1&0&0 \\ 0&0&0&0&1&0 \\ 0&0&0&0&0&1\end{smallmatrix} , \ \begin{smallmatrix}0&1&0&0&0&0 \\ 1&0&0&1&1&1 \\ 0&0&1&1&1&1 \\ 0&1&1&1&1&2 \\ 0&1&1&1&1&3 \\ 0&1&1&2&3&3\end{smallmatrix} , \ \begin{smallmatrix}0&0&1&0&0&0 \\ 0&0&1&1&1&1 \\ 1&1&1&1&1&1 \\ 0&1&1&2&1&2 \\ 0&1&1&1&2&3 \\ 0&1&1&2&3&4\end{smallmatrix} , \ \begin{smallmatrix}0&0&0&1&0&0 \\ 0&1&1&1&1&2 \\ 0&1&1&2&1&2 \\ 1&1&2&1&3&3 \\ 0&1&1&3&3&4 \\ 0&2&2&3&4&6\end{smallmatrix} , \ \begin{smallmatrix}0&0&0&0&1&0 \\ 0&1&1&1&1&3 \\ 0&1&1&1&2&3 \\ 0&1&1&3&3&4 \\ 1&1&2&3&4&5 \\ 0&3&3&4&5&7\end{smallmatrix} , \ \begin{smallmatrix}0&0&0&0&0&1 \\ 0&1&1&2&3&3 \\ 0&1&1&2&3&4 \\ 0&2&2&3&4&6 \\ 0&3&3&4&5&7 \\ 1&3&4&6&7&10\end{smallmatrix}$$

• rank $6$, FPdim $1320 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 11$, type $[1,9,10,11,21,24]$ and fusion rules:

$$ \begin{smallmatrix}1&0&0&0&0&0 \\ 0&1&0&0&0&0 \\ 0&0&1&0&0&0 \\ 0&0&0&1&0&0 \\ 0&0&0&0&1&0 \\ 0&0&0&0&0&1\end{smallmatrix} , \ \begin{smallmatrix}0&1&0&0&0&0 \\ 1&0&0&1&1&2 \\ 0&0&1&1&1&2 \\ 0&1&1&1&1&2 \\ 0&1&1&1&3&4 \\ 0&2&2&2&4&3\end{smallmatrix} , \ \begin{smallmatrix}0&0&1&0&0&0 \\ 0&0&1&1&1&2 \\ 1&1&0&0&2&2 \\ 0&1&0&1&2&2 \\ 0&1&2&2&3&4 \\ 0&2&2&2&4&4\end{smallmatrix} , \ \begin{smallmatrix}0&0&0&1&0&0 \\ 0&1&1&1&1&2 \\ 0&1&0&1&2&2 \\ 1&1&1&1&2&2 \\ 0&1&2&2&4&4 \\ 0&2&2&2&4&5\end{smallmatrix} , \ \begin{smallmatrix}0&0&0&0&1&0 \\ 0&1&1&1&3&4 \\ 0&1&2&2&3&4 \\ 0&1&2&2&4&4 \\ 1&3&3&4&7&8 \\ 0&4&4&4&8&9\end{smallmatrix} , \ \begin{smallmatrix}0&0&0&0&0&1 \\ 0&2&2&2&4&3 \\ 0&2&2&2&4&4 \\ 0&2&2&2&4&5 \\ 0&4&4&4&8&9 \\ 1&3&4&5&9&11\end{smallmatrix} $$

• rank $7$, FPdim $560 = 2^4 \cdot 5 \cdot 7$, type $[1,6,7,7,10,10,15]$ and fusion rules:

$$ \begin{smallmatrix}1&0&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0&0\\0&0&0&1&0&0&0\\0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&0&1\end{smallmatrix} ,\begin{smallmatrix}0&1&0&0&0&0&0\\1&0&0&0&1&1&1\\0&0&1&0&1&1&1\\0&0&0&1&1&1&1\\0&1&1&1&0&1&2\\0&1&1&1&1&0&2\\0&1&1&1&2&2&2\end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix}0&0&1&0&0&0&0\\0&0&1&0&1&1&1\\1&1&0&1&1&1&1\\0&0&1&1&1&1&1\\0&1&1&1&1&1&2\\0&1&1&1&1&1&2\\0&1&1&1&2&2&3\end{smallmatrix} , \begin{smallmatrix}0&0&0&1&0&0&0\\0&0&0&1&1&1&1\\0&0&1&1&1&1&1\\1&1&1&0&1&1&1\\0&1&1&1&1&1&2\\0&1&1&1&1&1&2\\0&1&1&1&2&2&3\end{smallmatrix} , \begin{smallmatrix}0&0&0&0&1&0&0\\0&1&1&1&0&1&2\\0&1&1&1&1&1&2\\0&1&1&1&1&1&2\\0&1&1&1&2&3&2\\1&0&1&1&2&2&3\\0&2&2&2&3&2&4\end{smallmatrix} , \begin{smallmatrix}0&0&0&0&0&1&0\\0&1&1&1&1&0&2\\0&1&1&1&1&1&2\\0&1&1&1&1&1&2\\1&0&1&1&2&2&3\\0&1&1&1&3&2&2\\0&2&2&2&2&3&4\end{smallmatrix} , \begin{smallmatrix}0&0&0&0&0&0&1\\0&1&1&1&2&2&2\\0&1&1&1&2&2&3\\0&1&1&1&2&2&3\\0&2&2&2&3&2&4\\0&2&2&2&2&3&4\\1&2&3&3&4&4&6\end{smallmatrix} $$

• rank $7$, FPdim $798=2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 19$, type $[1,7,8,9,9,9,21]$ and fusion rules:

$$ \begin{smallmatrix}1&0&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0&0\\0&0&0&1&0&0&0\\0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&0&1\end{smallmatrix} , \begin{smallmatrix}0&1&0&0&0&0&0\\1&0&0&1&1&1&1\\0&0&1&1&1&1&1\\0&1&1&1&1&1&1\\0&1&1&1&1&1&1\\0&1&1&1&1&1&1\\0&1&1&1&1&1&5\end{smallmatrix} , \begin{smallmatrix}0&0&1&0&0&0&0\\0&0&1&1&1&1&1\\1&1&1&1&1&1&1\\0&1&1&2&1&1&1\\0&1&1&1&2&1&1\\0&1&1&1&1&2&1\\0&1&1&1&1&1&6\end{smallmatrix} , \begin{smallmatrix}0&0&0&1&0&0&0\\0&1&1&1&1&1&1\\0&1&1&2&1&1&1\\1&1&2&1&1&2&1\\0&1&1&1&2&2&1\\0&1&1&2&2&1&1\\0&1&1&1&1&1&7\end{smallmatrix} , \begin{smallmatrix}0&0&0&0&1&0&0\\0&1&1&1&1&1&1\\0&1&1&1&2&1&1\\0&1&1&1&2&2&1\\1&1&2&2&1&1&1\\0&1&1&2&1&2&1\\0&1&1&1&1&1&7\end{smallmatrix} , \begin{smallmatrix}0&0&0&0&0&1&0\\0&1&1&1&1&1&1\\0&1&1&1&1&2&1\\0&1&1&2&2&1&1\\0&1&1&2&1&2&1\\1&1&2&1&2&1&1\\0&1&1&1&1&1&7\end{smallmatrix} , \begin{smallmatrix}0&0&0&0&0&0&1\\0&1&1&1&1&1&5\\0&1&1&1&1&1&6\\0&1&1&1&1&1&7\\0&1&1&1&1&1&7\\0&1&1&1&1&1&7\\1&5&6&7&7&7&8\end{smallmatrix} $$

If $3 \not \in S$ then the answer to Question($S$) is yes.

There are integral commutative fusion rings which are not of Frobenius type.

Examples:

• Non-simple: rank $4$, FPdim $15$, type $[1,1,2,3]$, and fusion rules:

  $$ \begin{smallmatrix} 1&0&0&0 \\ 0&1&0&0 \\ 0&0&1&0 \\ 0&0&0&1 \end{smallmatrix} , \ \begin{smallmatrix} 0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1 \end{smallmatrix} , \ \begin{smallmatrix} 0&0&1&0\\0&0&1&0\\1&1&1&0\\0&0&0&2 \end{smallmatrix} , \ \begin{smallmatrix} 0&0&0&1\\0&0&0&1\\0&0&0&2\\1&1&2&1 \end{smallmatrix} $$

• Simple: rank $6$, FPdim $143$, type $[1,4,4,5,6,7]$, and fusion rules:

$$ \begin{smallmatrix}1&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0\\0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&1\end{smallmatrix} , \ \begin{smallmatrix}0&1&0&0&0&0\\1&0&1&1&1&0\\0&1&0&1&0&1\\0&1&1&1&0&1\\0&1&0&0&1&2\\0&0&1&1&2&1\end{smallmatrix} , \ \begin{smallmatrix}0&0&1&0&0&0\\0&1&0&1&0&1\\1&0&2&0&0&1\\0&1&0&2&1&0\\0&0&0&1&2&1\\0&1&1&0&1&2\end{smallmatrix} , \ \begin{smallmatrix}0&0&0&1&0&0\\0&1&1&1&0&1\\0&1&0&2&1&0\\1&1&2&1&0&1\\0&0&1&0&2&2\\0&1&0&1&2&2\end{smallmatrix} , \ \begin{smallmatrix}0&0&0&0&1&0\\0&1&0&0&1&2\\0&0&0&1&2&1\\0&0&1&0&2&2\\1&1&2&2&1&1\\0&2&1&2&1&2\end{smallmatrix} , \ \begin{smallmatrix}0&0&0&0&0&1\\0&0&1&1&2&1\\0&1&1&0&1&2\\0&1&0&1&2&2\\0&2&1&2&1&2\\1&1&2&2&2&2\end{smallmatrix} $$

Note that $15= 3 \times 5$ and $143 = 11 \times 13$. They admit no categorification because by MR2098028, any fusion category of Frobenius-Perron dimension $pq$ (with $p,q$ different odd primes) is group-theoretical, whereas by MR2735754, a (weakly) group theoretical fusion category is of Frobenius type.

Now, four new simple integral (commutative) fusion rings not of Frobenius type and on which a unitary categorification cannot be excluded according to my current knowledge:

• rank $6$, FPdim $924 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 11$, type $[1,7,8,12,15,21]$ and fusion rules:

$$\begin{smallmatrix}1&0&0&0&0&0 \\ 0&1&0&0&0&0 \\ 0&0&1&0&0&0 \\ 0&0&0&1&0&0 \\ 0&0&0&0&1&0 \\ 0&0&0&0&0&1\end{smallmatrix} , \ \begin{smallmatrix}0&1&0&0&0&0 \\ 1&0&0&1&1&1 \\ 0&0&1&1&1&1 \\ 0&1&1&1&1&2 \\ 0&1&1&1&1&3 \\ 0&1&1&2&3&3\end{smallmatrix} , \ \begin{smallmatrix}0&0&1&0&0&0 \\ 0&0&1&1&1&1 \\ 1&1&1&1&1&1 \\ 0&1&1&2&1&2 \\ 0&1&1&1&2&3 \\ 0&1&1&2&3&4\end{smallmatrix} , \ \begin{smallmatrix}0&0&0&1&0&0 \\ 0&1&1&1&1&2 \\ 0&1&1&2&1&2 \\ 1&1&2&1&3&3 \\ 0&1&1&3&3&4 \\ 0&2&2&3&4&6\end{smallmatrix} , \ \begin{smallmatrix}0&0&0&0&1&0 \\ 0&1&1&1&1&3 \\ 0&1&1&1&2&3 \\ 0&1&1&3&3&4 \\ 1&1&2&3&4&5 \\ 0&3&3&4&5&7\end{smallmatrix} , \ \begin{smallmatrix}0&0&0&0&0&1 \\ 0&1&1&2&3&3 \\ 0&1&1&2&3&4 \\ 0&2&2&3&4&6 \\ 0&3&3&4&5&7 \\ 1&3&4&6&7&10\end{smallmatrix}$$

• rank $6$, FPdim $1320 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 11$, type $[1,9,10,11,21,24]$ and fusion rules:

$$ \begin{smallmatrix}1&0&0&0&0&0 \\ 0&1&0&0&0&0 \\ 0&0&1&0&0&0 \\ 0&0&0&1&0&0 \\ 0&0&0&0&1&0 \\ 0&0&0&0&0&1\end{smallmatrix} , \ \begin{smallmatrix}0&1&0&0&0&0 \\ 1&0&0&1&1&2 \\ 0&0&1&1&1&2 \\ 0&1&1&1&1&2 \\ 0&1&1&1&3&4 \\ 0&2&2&2&4&3\end{smallmatrix} , \ \begin{smallmatrix}0&0&1&0&0&0 \\ 0&0&1&1&1&2 \\ 1&1&0&0&2&2 \\ 0&1&0&1&2&2 \\ 0&1&2&2&3&4 \\ 0&2&2&2&4&4\end{smallmatrix} , \ \begin{smallmatrix}0&0&0&1&0&0 \\ 0&1&1&1&1&2 \\ 0&1&0&1&2&2 \\ 1&1&1&1&2&2 \\ 0&1&2&2&4&4 \\ 0&2&2&2&4&5\end{smallmatrix} , \ \begin{smallmatrix}0&0&0&0&1&0 \\ 0&1&1&1&3&4 \\ 0&1&2&2&3&4 \\ 0&1&2&2&4&4 \\ 1&3&3&4&7&8 \\ 0&4&4&4&8&9\end{smallmatrix} , \ \begin{smallmatrix}0&0&0&0&0&1 \\ 0&2&2&2&4&3 \\ 0&2&2&2&4&4 \\ 0&2&2&2&4&5 \\ 0&4&4&4&8&9 \\ 1&3&4&5&9&11\end{smallmatrix} $$

• rank $7$, FPdim $560 = 2^4 \cdot 5 \cdot 7$, type $[1,6,7,7,10,10,15]$ and fusion rules:

$$ \begin{smallmatrix}1&0&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0&0\\0&0&0&1&0&0&0\\0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&0&1\end{smallmatrix} ,\begin{smallmatrix}0&1&0&0&0&0&0\\1&0&0&0&1&1&1\\0&0&1&0&1&1&1\\0&0&0&1&1&1&1\\0&1&1&1&0&1&2\\0&1&1&1&1&0&2\\0&1&1&1&2&2&2\end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix}0&0&1&0&0&0&0\\0&0&1&0&1&1&1\\1&1&0&1&1&1&1\\0&0&1&1&1&1&1\\0&1&1&1&1&1&2\\0&1&1&1&1&1&2\\0&1&1&1&2&2&3\end{smallmatrix} , \begin{smallmatrix}0&0&0&1&0&0&0\\0&0&0&1&1&1&1\\0&0&1&1&1&1&1\\1&1&1&0&1&1&1\\0&1&1&1&1&1&2\\0&1&1&1&1&1&2\\0&1&1&1&2&2&3\end{smallmatrix} , \begin{smallmatrix}0&0&0&0&1&0&0\\0&1&1&1&0&1&2\\0&1&1&1&1&1&2\\0&1&1&1&1&1&2\\0&1&1&1&2&3&2\\1&0&1&1&2&2&3\\0&2&2&2&3&2&4\end{smallmatrix} , \begin{smallmatrix}0&0&0&0&0&1&0\\0&1&1&1&1&0&2\\0&1&1&1&1&1&2\\0&1&1&1&1&1&2\\1&0&1&1&2&2&3\\0&1&1&1&3&2&2\\0&2&2&2&2&3&4\end{smallmatrix} , \begin{smallmatrix}0&0&0&0&0&0&1\\0&1&1&1&2&2&2\\0&1&1&1&2&2&3\\0&1&1&1&2&2&3\\0&2&2&2&3&2&4\\0&2&2&2&2&3&4\\1&2&3&3&4&4&6\end{smallmatrix} $$

• rank $7$, FPdim $798=2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 19$, type $[1,7,8,9,9,9,21]$ and fusion rules:

$$ \begin{smallmatrix}1&0&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0&0\\0&0&0&1&0&0&0\\0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&0&1\end{smallmatrix} , \begin{smallmatrix}0&1&0&0&0&0&0\\1&0&0&1&1&1&1\\0&0&1&1&1&1&1\\0&1&1&1&1&1&1\\0&1&1&1&1&1&1\\0&1&1&1&1&1&1\\0&1&1&1&1&1&5\end{smallmatrix} , \begin{smallmatrix}0&0&1&0&0&0&0\\0&0&1&1&1&1&1\\1&1&1&1&1&1&1\\0&1&1&2&1&1&1\\0&1&1&1&2&1&1\\0&1&1&1&1&2&1\\0&1&1&1&1&1&6\end{smallmatrix} , \begin{smallmatrix}0&0&0&1&0&0&0\\0&1&1&1&1&1&1\\0&1&1&2&1&1&1\\1&1&2&1&1&2&1\\0&1&1&1&2&2&1\\0&1&1&2&2&1&1\\0&1&1&1&1&1&7\end{smallmatrix} , \begin{smallmatrix}0&0&0&0&1&0&0\\0&1&1&1&1&1&1\\0&1&1&1&2&1&1\\0&1&1&1&2&2&1\\1&1&2&2&1&1&1\\0&1&1&2&1&2&1\\0&1&1&1&1&1&7\end{smallmatrix} , \begin{smallmatrix}0&0&0&0&0&1&0\\0&1&1&1&1&1&1\\0&1&1&1&1&2&1\\0&1&1&2&2&1&1\\0&1&1&2&1&2&1\\1&1&2&1&2&1&1\\0&1&1&1&1&1&7\end{smallmatrix} , \begin{smallmatrix}0&0&0&0&0&0&1\\0&1&1&1&1&1&5\\0&1&1&1&1&1&6\\0&1&1&1&1&1&7\\0&1&1&1&1&1&7\\0&1&1&1&1&1&7\\1&5&6&7&7&7&8\end{smallmatrix} $$

If $3 \not \in S$ then the answer to Question($S$) is yes.

There are integral commutative fusion rings which are not of Frobenius type.

Examples:

• Non-simple: rank $4$, FPdim $15$, type $[1,1,2,3]$, and fusion rules:

$$ \begin{smallmatrix} 1&0&0&0 \\ 0&1&0&0 \\ 0&0&1&0 \\ 0&0&0&1 \end{smallmatrix} , \ \begin{smallmatrix} 0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1 \end{smallmatrix} , \ \begin{smallmatrix} 0&0&1&0\\0&0&1&0\\1&1&1&0\\0&0&0&2 \end{smallmatrix} , \ \begin{smallmatrix} 0&0&0&1\\0&0&0&1\\0&0&0&2\\1&1&2&1 \end{smallmatrix} $$

• Simple: rank $6$, FPdim $143$, type $[1,4,4,5,6,7]$, and fusion rules:

$$ \begin{smallmatrix}1&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0\\0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&1\end{smallmatrix} , \ \begin{smallmatrix}0&1&0&0&0&0\\1&0&1&1&1&0\\0&1&0&1&0&1\\0&1&1&1&0&1\\0&1&0&0&1&2\\0&0&1&1&2&1\end{smallmatrix} , \ \begin{smallmatrix}0&0&1&0&0&0\\0&1&0&1&0&1\\1&0&2&0&0&1\\0&1&0&2&1&0\\0&0&0&1&2&1\\0&1&1&0&1&2\end{smallmatrix} , \ \begin{smallmatrix}0&0&0&1&0&0\\0&1&1&1&0&1\\0&1&0&2&1&0\\1&1&2&1&0&1\\0&0&1&0&2&2\\0&1&0&1&2&2\end{smallmatrix} , \ \begin{smallmatrix}0&0&0&0&1&0\\0&1&0&0&1&2\\0&0&0&1&2&1\\0&0&1&0&2&2\\1&1&2&2&1&1\\0&2&1&2&1&2\end{smallmatrix} , \ \begin{smallmatrix}0&0&0&0&0&1\\0&0&1&1&2&1\\0&1&1&0&1&2\\0&1&0&1&2&2\\0&2&1&2&1&2\\1&1&2&2&2&2\end{smallmatrix} $$

Note that $15= 3 \times 5$ and $143 = 11 \times 13$. They admit no categorification because by MR2098028, any fusion category of Frobenius-Perron dimension $pq$ (with $p,q$ different odd primes) is group-theoretical, whereas by MR2735754, a (weakly) group theoretical fusion category is of Frobenius type.

Now, two new simple examples on which a unitary categorification cannot be excluded according to my current knowledge:

• rank $7$, FPdim $560 = 2^4 \cdot 5 \cdot 7$, type $[1,6,7,7,10,10,15]$ and fusion rules:

$$ \begin{smallmatrix}1&0&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0&0\\0&0&0&1&0&0&0\\0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&0&1\end{smallmatrix} ,\begin{smallmatrix}0&1&0&0&0&0&0\\1&0&0&0&1&1&1\\0&0&1&0&1&1&1\\0&0&0&1&1&1&1\\0&1&1&1&0&1&2\\0&1&1&1&1&0&2\\0&1&1&1&2&2&2\end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix}0&0&1&0&0&0&0\\0&0&1&0&1&1&1\\1&1&0&1&1&1&1\\0&0&1&1&1&1&1\\0&1&1&1&1&1&2\\0&1&1&1&1&1&2\\0&1&1&1&2&2&3\end{smallmatrix} , \begin{smallmatrix}0&0&0&1&0&0&0\\0&0&0&1&1&1&1\\0&0&1&1&1&1&1\\1&1&1&0&1&1&1\\0&1&1&1&1&1&2\\0&1&1&1&1&1&2\\0&1&1&1&2&2&3\end{smallmatrix} , \begin{smallmatrix}0&0&0&0&1&0&0\\0&1&1&1&0&1&2\\0&1&1&1&1&1&2\\0&1&1&1&1&1&2\\0&1&1&1&2&3&2\\1&0&1&1&2&2&3\\0&2&2&2&3&2&4\end{smallmatrix} , \begin{smallmatrix}0&0&0&0&0&1&0\\0&1&1&1&1&0&2\\0&1&1&1&1&1&2\\0&1&1&1&1&1&2\\1&0&1&1&2&2&3\\0&1&1&1&3&2&2\\0&2&2&2&2&3&4\end{smallmatrix} , \begin{smallmatrix}0&0&0&0&0&0&1\\0&1&1&1&2&2&2\\0&1&1&1&2&2&3\\0&1&1&1&2&2&3\\0&2&2&2&3&2&4\\0&2&2&2&2&3&4\\1&2&3&3&4&4&6\end{smallmatrix} $$

• rank $7$, FPdim $798=2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 19$, type $[1,7,8,9,9,9,21]$ and fusion rules:

$$ \begin{smallmatrix}1&0&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0&0\\0&0&0&1&0&0&0\\0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&0&1\end{smallmatrix} , \begin{smallmatrix}0&1&0&0&0&0&0\\1&0&0&1&1&1&1\\0&0&1&1&1&1&1\\0&1&1&1&1&1&1\\0&1&1&1&1&1&1\\0&1&1&1&1&1&1\\0&1&1&1&1&1&5\end{smallmatrix} , \begin{smallmatrix}0&0&1&0&0&0&0\\0&0&1&1&1&1&1\\1&1&1&1&1&1&1\\0&1&1&2&1&1&1\\0&1&1&1&2&1&1\\0&1&1&1&1&2&1\\0&1&1&1&1&1&6\end{smallmatrix} , \begin{smallmatrix}0&0&0&1&0&0&0\\0&1&1&1&1&1&1\\0&1&1&2&1&1&1\\1&1&2&1&1&2&1\\0&1&1&1&2&2&1\\0&1&1&2&2&1&1\\0&1&1&1&1&1&7\end{smallmatrix} , \begin{smallmatrix}0&0&0&0&1&0&0\\0&1&1&1&1&1&1\\0&1&1&1&2&1&1\\0&1&1&1&2&2&1\\1&1&2&2&1&1&1\\0&1&1&2&1&2&1\\0&1&1&1&1&1&7\end{smallmatrix} , \begin{smallmatrix}0&0&0&0&0&1&0\\0&1&1&1&1&1&1\\0&1&1&1&1&2&1\\0&1&1&2&2&1&1\\0&1&1&2&1&2&1\\1&1&2&1&2&1&1\\0&1&1&1&1&1&7\end{smallmatrix} , \begin{smallmatrix}0&0&0&0&0&0&1\\0&1&1&1&1&1&5\\0&1&1&1&1&1&6\\0&1&1&1&1&1&7\\0&1&1&1&1&1&7\\0&1&1&1&1&1&7\\1&5&6&7&7&7&8\end{smallmatrix} $$

If $3 \not \in S$ then the answer to Question($S$) is yes.

There are integral commutative fusion rings which are not of Frobenius type.

Examples:

• Non-simple: rank $4$, FPdim $15$, type $[1,1,2,3]$, and fusion rules:

$$ \begin{smallmatrix} 1&0&0&0 \\ 0&1&0&0 \\ 0&0&1&0 \\ 0&0&0&1 \end{smallmatrix} , \ \begin{smallmatrix} 0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1 \end{smallmatrix} , \ \begin{smallmatrix} 0&0&1&0\\0&0&1&0\\1&1&1&0\\0&0&0&2 \end{smallmatrix} , \ \begin{smallmatrix} 0&0&0&1\\0&0&0&1\\0&0&0&2\\1&1&2&1 \end{smallmatrix} $$

• Simple: rank $6$, FPdim $143$, type $[1,4,4,5,6,7]$, and fusion rules:

$$ \begin{smallmatrix}1&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0\\0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&1\end{smallmatrix} , \ \begin{smallmatrix}0&1&0&0&0&0\\1&0&1&1&1&0\\0&1&0&1&0&1\\0&1&1&1&0&1\\0&1&0&0&1&2\\0&0&1&1&2&1\end{smallmatrix} , \ \begin{smallmatrix}0&0&1&0&0&0\\0&1&0&1&0&1\\1&0&2&0&0&1\\0&1&0&2&1&0\\0&0&0&1&2&1\\0&1&1&0&1&2\end{smallmatrix} , \ \begin{smallmatrix}0&0&0&1&0&0\\0&1&1&1&0&1\\0&1&0&2&1&0\\1&1&2&1&0&1\\0&0&1&0&2&2\\0&1&0&1&2&2\end{smallmatrix} , \ \begin{smallmatrix}0&0&0&0&1&0\\0&1&0&0&1&2\\0&0&0&1&2&1\\0&0&1&0&2&2\\1&1&2&2&1&1\\0&2&1&2&1&2\end{smallmatrix} , \ \begin{smallmatrix}0&0&0&0&0&1\\0&0&1&1&2&1\\0&1&1&0&1&2\\0&1&0&1&2&2\\0&2&1&2&1&2\\1&1&2&2&2&2\end{smallmatrix} $$

Note that $15= 3 \times 5$ and $143 = 11 \times 13$. They admit no categorification because by MR2098028, any fusion category of Frobenius-Perron dimension $pq$ (with $p,q$ different odd primes) is group-theoretical, whereas by MR2735754, a (weakly) group theoretical fusion category is of Frobenius type.

Now, four new simple integral (commutative) fusion rings not of Frobenius type and on which a unitary categorification cannot be excluded according to my current knowledge:

• rank $6$, FPdim $924 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 11$, type $[1,7,8,12,15,21]$ and fusion rules:

$$\begin{smallmatrix}1&0&0&0&0&0 \\ 0&1&0&0&0&0 \\ 0&0&1&0&0&0 \\ 0&0&0&1&0&0 \\ 0&0&0&0&1&0 \\ 0&0&0&0&0&1\end{smallmatrix} , \ \begin{smallmatrix}0&1&0&0&0&0 \\ 1&0&0&1&1&1 \\ 0&0&1&1&1&1 \\ 0&1&1&1&1&2 \\ 0&1&1&1&1&3 \\ 0&1&1&2&3&3\end{smallmatrix} , \ \begin{smallmatrix}0&0&1&0&0&0 \\ 0&0&1&1&1&1 \\ 1&1&1&1&1&1 \\ 0&1&1&2&1&2 \\ 0&1&1&1&2&3 \\ 0&1&1&2&3&4\end{smallmatrix} , \ \begin{smallmatrix}0&0&0&1&0&0 \\ 0&1&1&1&1&2 \\ 0&1&1&2&1&2 \\ 1&1&2&1&3&3 \\ 0&1&1&3&3&4 \\ 0&2&2&3&4&6\end{smallmatrix} , \ \begin{smallmatrix}0&0&0&0&1&0 \\ 0&1&1&1&1&3 \\ 0&1&1&1&2&3 \\ 0&1&1&3&3&4 \\ 1&1&2&3&4&5 \\ 0&3&3&4&5&7\end{smallmatrix} , \ \begin{smallmatrix}0&0&0&0&0&1 \\ 0&1&1&2&3&3 \\ 0&1&1&2&3&4 \\ 0&2&2&3&4&6 \\ 0&3&3&4&5&7 \\ 1&3&4&6&7&10\end{smallmatrix}$$

• rank $6$, FPdim $1320 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 11$, type $[1,9,10,11,21,24]$ and fusion rules:

$$ \begin{smallmatrix}1&0&0&0&0&0 \\ 0&1&0&0&0&0 \\ 0&0&1&0&0&0 \\ 0&0&0&1&0&0 \\ 0&0&0&0&1&0 \\ 0&0&0&0&0&1\end{smallmatrix} , \ \begin{smallmatrix}0&1&0&0&0&0 \\ 1&0&0&1&1&2 \\ 0&0&1&1&1&2 \\ 0&1&1&1&1&2 \\ 0&1&1&1&3&4 \\ 0&2&2&2&4&3\end{smallmatrix} , \ \begin{smallmatrix}0&0&1&0&0&0 \\ 0&0&1&1&1&2 \\ 1&1&0&0&2&2 \\ 0&1&0&1&2&2 \\ 0&1&2&2&3&4 \\ 0&2&2&2&4&4\end{smallmatrix} , \ \begin{smallmatrix}0&0&0&1&0&0 \\ 0&1&1&1&1&2 \\ 0&1&0&1&2&2 \\ 1&1&1&1&2&2 \\ 0&1&2&2&4&4 \\ 0&2&2&2&4&5\end{smallmatrix} , \ \begin{smallmatrix}0&0&0&0&1&0 \\ 0&1&1&1&3&4 \\ 0&1&2&2&3&4 \\ 0&1&2&2&4&4 \\ 1&3&3&4&7&8 \\ 0&4&4&4&8&9\end{smallmatrix} , \ \begin{smallmatrix}0&0&0&0&0&1 \\ 0&2&2&2&4&3 \\ 0&2&2&2&4&4 \\ 0&2&2&2&4&5 \\ 0&4&4&4&8&9 \\ 1&3&4&5&9&11\end{smallmatrix} $$

• rank $7$, FPdim $560 = 2^4 \cdot 5 \cdot 7$, type $[1,6,7,7,10,10,15]$ and fusion rules:

$$ \begin{smallmatrix}1&0&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0&0\\0&0&0&1&0&0&0\\0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&0&1\end{smallmatrix} ,\begin{smallmatrix}0&1&0&0&0&0&0\\1&0&0&0&1&1&1\\0&0&1&0&1&1&1\\0&0&0&1&1&1&1\\0&1&1&1&0&1&2\\0&1&1&1&1&0&2\\0&1&1&1&2&2&2\end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix}0&0&1&0&0&0&0\\0&0&1&0&1&1&1\\1&1&0&1&1&1&1\\0&0&1&1&1&1&1\\0&1&1&1&1&1&2\\0&1&1&1&1&1&2\\0&1&1&1&2&2&3\end{smallmatrix} , \begin{smallmatrix}0&0&0&1&0&0&0\\0&0&0&1&1&1&1\\0&0&1&1&1&1&1\\1&1&1&0&1&1&1\\0&1&1&1&1&1&2\\0&1&1&1&1&1&2\\0&1&1&1&2&2&3\end{smallmatrix} , \begin{smallmatrix}0&0&0&0&1&0&0\\0&1&1&1&0&1&2\\0&1&1&1&1&1&2\\0&1&1&1&1&1&2\\0&1&1&1&2&3&2\\1&0&1&1&2&2&3\\0&2&2&2&3&2&4\end{smallmatrix} , \begin{smallmatrix}0&0&0&0&0&1&0\\0&1&1&1&1&0&2\\0&1&1&1&1&1&2\\0&1&1&1&1&1&2\\1&0&1&1&2&2&3\\0&1&1&1&3&2&2\\0&2&2&2&2&3&4\end{smallmatrix} , \begin{smallmatrix}0&0&0&0&0&0&1\\0&1&1&1&2&2&2\\0&1&1&1&2&2&3\\0&1&1&1&2&2&3\\0&2&2&2&3&2&4\\0&2&2&2&2&3&4\\1&2&3&3&4&4&6\end{smallmatrix} $$

• rank $7$, FPdim $798=2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 19$, type $[1,7,8,9,9,9,21]$ and fusion rules:

$$ \begin{smallmatrix}1&0&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0&0\\0&0&0&1&0&0&0\\0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&0&1\end{smallmatrix} , \begin{smallmatrix}0&1&0&0&0&0&0\\1&0&0&1&1&1&1\\0&0&1&1&1&1&1\\0&1&1&1&1&1&1\\0&1&1&1&1&1&1\\0&1&1&1&1&1&1\\0&1&1&1&1&1&5\end{smallmatrix} , \begin{smallmatrix}0&0&1&0&0&0&0\\0&0&1&1&1&1&1\\1&1&1&1&1&1&1\\0&1&1&2&1&1&1\\0&1&1&1&2&1&1\\0&1&1&1&1&2&1\\0&1&1&1&1&1&6\end{smallmatrix} , \begin{smallmatrix}0&0&0&1&0&0&0\\0&1&1&1&1&1&1\\0&1&1&2&1&1&1\\1&1&2&1&1&2&1\\0&1&1&1&2&2&1\\0&1&1&2&2&1&1\\0&1&1&1&1&1&7\end{smallmatrix} , \begin{smallmatrix}0&0&0&0&1&0&0\\0&1&1&1&1&1&1\\0&1&1&1&2&1&1\\0&1&1&1&2&2&1\\1&1&2&2&1&1&1\\0&1&1&2&1&2&1\\0&1&1&1&1&1&7\end{smallmatrix} , \begin{smallmatrix}0&0&0&0&0&1&0\\0&1&1&1&1&1&1\\0&1&1&1&1&2&1\\0&1&1&2&2&1&1\\0&1&1&2&1&2&1\\1&1&2&1&2&1&1\\0&1&1&1&1&1&7\end{smallmatrix} , \begin{smallmatrix}0&0&0&0&0&0&1\\0&1&1&1&1&1&5\\0&1&1&1&1&1&6\\0&1&1&1&1&1&7\\0&1&1&1&1&1&7\\0&1&1&1&1&1&7\\1&5&6&7&7&7&8\end{smallmatrix} $$

If $3 \not \in S$ then the answer to Question($S$) is yes.

There are integral commutative fusion rings which are not of Frobenius type.

Examples:

• Non-simple: rank $4$, Frobenius-Perron dimension $15$, type $[1,1,2,3]$, fusion rules:

$$ \begin{smallmatrix} 1&0&0&0 \\ 0&1&0&0 \\ 0&0&1&0 \\ 0&0&0&1 \end{smallmatrix} , \ \begin{smallmatrix} 0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1 \end{smallmatrix} , \ \begin{smallmatrix} 0&0&1&0\\0&0&1&0\\1&1&1&0\\0&0&0&2 \end{smallmatrix} , \ \begin{smallmatrix} 0&0&0&1\\0&0&0&1\\0&0&0&2\\1&1&2&1 \end{smallmatrix} $$

• Simple: rank $6$, Frobenius-Perron dimension $143$, type $[1,4,4,5,6,7]$, fusion rules:

$$ \begin{smallmatrix}1&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0\\0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&1\end{smallmatrix} , \ \begin{smallmatrix}0&1&0&0&0&0\\1&0&1&1&1&0\\0&1&0&1&0&1\\0&1&1&1&0&1\\0&1&0&0&1&2\\0&0&1&1&2&1\end{smallmatrix} , \ \begin{smallmatrix}0&0&1&0&0&0\\0&1&0&1&0&1\\1&0&2&0&0&1\\0&1&0&2&1&0\\0&0&0&1&2&1\\0&1&1&0&1&2\end{smallmatrix} , \ \begin{smallmatrix}0&0&0&1&0&0\\0&1&1&1&0&1\\0&1&0&2&1&0\\1&1&2&1&0&1\\0&0&1&0&2&2\\0&1&0&1&2&2\end{smallmatrix} , \ \begin{smallmatrix}0&0&0&0&1&0\\0&1&0&0&1&2\\0&0&0&1&2&1\\0&0&1&0&2&2\\1&1&2&2&1&1\\0&2&1&2&1&2\end{smallmatrix} , \ \begin{smallmatrix}0&0&0&0&0&1\\0&0&1&1&2&1\\0&1&1&0&1&2\\0&1&0&1&2&2\\0&2&1&2&1&2\\1&1&2&2&2&2\end{smallmatrix} $$

Note that $15= 3 \times 5$ and $143 = 11 \times 13$. They admit no categorification because by MR2098028, any fusion category of Frobenius-Perron dimension $pq$ (with $p,q$ different odd primes) is group-theoretical, whereas by MR2735754, a (weakly) group theoretical fusion category is of Frobenius type.

If $3 \not \in S$ then the answer to Question($S$) is yes.

There are integral commutative fusion rings which are not of Frobenius type.

Examples:

• Non-simple: rank $4$, FPdim $15$, type $[1,1,2,3]$, and fusion rules:

$$ \begin{smallmatrix} 1&0&0&0 \\ 0&1&0&0 \\ 0&0&1&0 \\ 0&0&0&1 \end{smallmatrix} , \ \begin{smallmatrix} 0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1 \end{smallmatrix} , \ \begin{smallmatrix} 0&0&1&0\\0&0&1&0\\1&1&1&0\\0&0&0&2 \end{smallmatrix} , \ \begin{smallmatrix} 0&0&0&1\\0&0&0&1\\0&0&0&2\\1&1&2&1 \end{smallmatrix} $$

• Simple: rank $6$, FPdim $143$, type $[1,4,4,5,6,7]$, and fusion rules:

$$ \begin{smallmatrix}1&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0\\0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&1\end{smallmatrix} , \ \begin{smallmatrix}0&1&0&0&0&0\\1&0&1&1&1&0\\0&1&0&1&0&1\\0&1&1&1&0&1\\0&1&0&0&1&2\\0&0&1&1&2&1\end{smallmatrix} , \ \begin{smallmatrix}0&0&1&0&0&0\\0&1&0&1&0&1\\1&0&2&0&0&1\\0&1&0&2&1&0\\0&0&0&1&2&1\\0&1&1&0&1&2\end{smallmatrix} , \ \begin{smallmatrix}0&0&0&1&0&0\\0&1&1&1&0&1\\0&1&0&2&1&0\\1&1&2&1&0&1\\0&0&1&0&2&2\\0&1&0&1&2&2\end{smallmatrix} , \ \begin{smallmatrix}0&0&0&0&1&0\\0&1&0&0&1&2\\0&0&0&1&2&1\\0&0&1&0&2&2\\1&1&2&2&1&1\\0&2&1&2&1&2\end{smallmatrix} , \ \begin{smallmatrix}0&0&0&0&0&1\\0&0&1&1&2&1\\0&1&1&0&1&2\\0&1&0&1&2&2\\0&2&1&2&1&2\\1&1&2&2&2&2\end{smallmatrix} $$

Note that $15= 3 \times 5$ and $143 = 11 \times 13$. They admit no categorification because by MR2098028, any fusion category of Frobenius-Perron dimension $pq$ (with $p,q$ different odd primes) is group-theoretical, whereas by MR2735754, a (weakly) group theoretical fusion category is of Frobenius type.

Now, two new simple examples on which a unitary categorification cannot be excluded according to my current knowledge:

• rank $7$, FPdim $560 = 2^4 \cdot 5 \cdot 7$, type $[1,6,7,7,10,10,15]$ and fusion rules:

$$ \begin{smallmatrix}1&0&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0&0\\0&0&0&1&0&0&0\\0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&0&1\end{smallmatrix} ,\begin{smallmatrix}0&1&0&0&0&0&0\\1&0&0&0&1&1&1\\0&0&1&0&1&1&1\\0&0&0&1&1&1&1\\0&1&1&1&0&1&2\\0&1&1&1&1&0&2\\0&1&1&1&2&2&2\end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix}0&0&1&0&0&0&0\\0&0&1&0&1&1&1\\1&1&0&1&1&1&1\\0&0&1&1&1&1&1\\0&1&1&1&1&1&2\\0&1&1&1&1&1&2\\0&1&1&1&2&2&3\end{smallmatrix} , \begin{smallmatrix}0&0&0&1&0&0&0\\0&0&0&1&1&1&1\\0&0&1&1&1&1&1\\1&1&1&0&1&1&1\\0&1&1&1&1&1&2\\0&1&1&1&1&1&2\\0&1&1&1&2&2&3\end{smallmatrix} , \begin{smallmatrix}0&0&0&0&1&0&0\\0&1&1&1&0&1&2\\0&1&1&1&1&1&2\\0&1&1&1&1&1&2\\0&1&1&1&2&3&2\\1&0&1&1&2&2&3\\0&2&2&2&3&2&4\end{smallmatrix} , \begin{smallmatrix}0&0&0&0&0&1&0\\0&1&1&1&1&0&2\\0&1&1&1&1&1&2\\0&1&1&1&1&1&2\\1&0&1&1&2&2&3\\0&1&1&1&3&2&2\\0&2&2&2&2&3&4\end{smallmatrix} , \begin{smallmatrix}0&0&0&0&0&0&1\\0&1&1&1&2&2&2\\0&1&1&1&2&2&3\\0&1&1&1&2&2&3\\0&2&2&2&3&2&4\\0&2&2&2&2&3&4\\1&2&3&3&4&4&6\end{smallmatrix} $$

• rank $7$, FPdim $798=2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 19$, type $[1,7,8,9,9,9,21]$ and fusion rules:

$$ \begin{smallmatrix}1&0&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0&0\\0&0&0&1&0&0&0\\0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&0&1\end{smallmatrix} , \begin{smallmatrix}0&1&0&0&0&0&0\\1&0&0&1&1&1&1\\0&0&1&1&1&1&1\\0&1&1&1&1&1&1\\0&1&1&1&1&1&1\\0&1&1&1&1&1&1\\0&1&1&1&1&1&5\end{smallmatrix} , \begin{smallmatrix}0&0&1&0&0&0&0\\0&0&1&1&1&1&1\\1&1&1&1&1&1&1\\0&1&1&2&1&1&1\\0&1&1&1&2&1&1\\0&1&1&1&1&2&1\\0&1&1&1&1&1&6\end{smallmatrix} , \begin{smallmatrix}0&0&0&1&0&0&0\\0&1&1&1&1&1&1\\0&1&1&2&1&1&1\\1&1&2&1&1&2&1\\0&1&1&1&2&2&1\\0&1&1&2&2&1&1\\0&1&1&1&1&1&7\end{smallmatrix} , \begin{smallmatrix}0&0&0&0&1&0&0\\0&1&1&1&1&1&1\\0&1&1&1&2&1&1\\0&1&1&1&2&2&1\\1&1&2&2&1&1&1\\0&1&1&2&1&2&1\\0&1&1&1&1&1&7\end{smallmatrix} , \begin{smallmatrix}0&0&0&0&0&1&0\\0&1&1&1&1&1&1\\0&1&1&1&1&2&1\\0&1&1&2&2&1&1\\0&1&1&2&1&2&1\\1&1&2&1&2&1&1\\0&1&1&1&1&1&7\end{smallmatrix} , \begin{smallmatrix}0&0&0&0&0&0&1\\0&1&1&1&1&1&5\\0&1&1&1&1&1&6\\0&1&1&1&1&1&7\\0&1&1&1&1&1&7\\0&1&1&1&1&1&7\\1&5&6&7&7&7&8\end{smallmatrix} $$