Timeline for Pro-representability
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| Dec 16, 2017 at 20:51 | comment | added | Tomo | Thanks – after posting my question I also found this general result of Deligne in SGA IV_I: ‘Proposition 8.1.6. — Soit I une petite catégorie filtrante. Alors il existe un petit ensemble ordonné E, et un foncteur cofinal ϕ : EE → I, où EE désigne la catégorie associée a E.’ I still don't know about my other question. | |
| Dec 3, 2017 at 16:59 | comment | added | Louis-Clément LEFÈVRE | Pour prendre I ordonné : il suffit d'écrire, étant donnés $f,g:i\rightarrow j$, correspondant à deux morphismes $X(f), X(g):X_j \rightarrow X_i$, on prend $h:j\rightarrow k$ tel que $hf=hg$ alors $X(f)\circ X(h)=X(g)\circ X(h)$ donc (comme $X(h)$ est supposé être un épimorphisme) $X(f)=X(g)$. Donc on peut supposer qu'il y a un unique morphisme $i \rightarrow j$, et donc que $I$ est ordonné filtrant. Pour la suite je ne comprends pas bien moi non-plus.. et je n'ai que l'article de Grothendieck comme référence. | |
| Dec 2, 2017 at 0:33 | comment | added | Tomo | Pardonnez-moi de vous imposer une fois de plus mais il y a une chose de plus qui m'échappe… Grothendieck dit qu'on peut prendre la catégorie d'index I d'être ordonnée filtrante, et de plus il dit qu'on peut prendre le système projectif de façon que 'tout épimorphisme soit équivalent à un morphisme X_i -> X_j'… savez-vous ce qu'il veut dire par ça ? Et connaissez-vous où dans la littérature on peut trouver de tels résultats ? Merci bien ! | |
| Dec 1, 2017 at 13:26 | comment | added | Louis-Clément LEFÈVRE | Yes it seems perfectly correct like this ! | |
| Nov 30, 2017 at 3:42 | vote | accept | Tomo | ||
| Nov 30, 2017 at 3:41 | comment | added | Tomo | thank you Louis-Clément. I was missing the point that any equalizer is a strict monomorphism. with $F$ still left-exact then a pf for (2): let $u:A\rightarrow B$ with $B$ minimal and $\xi\in F(A)$, $\xi'=F(u)(\xi)\in F(B)$, $v_1,v_2:B\rightarrow Z$ for $Z\in C$ such that $v_1\circ u=v_2\circ u$; we need to prove $v_1=v_2$. Form the equalizer $e:E\rightarrow B$ of $v_1$ and $v_2$; it is a strict monomorphism. Let $\xi''=F(v_1)(\xi')$, then $\xi''=F(v_2)(\xi')$ as well since $\xi'=F(u)(\xi)$. So $\xi'\in F(E)$ since $F(e)$ equalizes $F(v_1)$ and $F(v_2)$. $B$ is dominated by $e$ so $e$ Is an iso | |
| Nov 29, 2017 at 10:50 | history | answered | Louis-Clément LEFÈVRE | CC BY-SA 3.0 |